Ο “τελεστής” περιοδικός πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών στους φυσικούς αριθμούς. The Riemann function z on the natural numbers.

ΙΣΤΟΡΙΚΟ

Από την αρχή της ενασχόλησής μου με τους πρώτους αριθμούς Φεβρουάριος του 2017,η λογική μου έλεγε πως αφού οι φυσικοί αριθμοί δημιουργούνται από την αναλογία των πρώτων αριθμών και η λύση θα προέρχεται από τα μοτίβα αναλογίας τους.

 Όσες φορές προσπάθησα να κατανοήσω κάτι από την δομή τους μεμονωμένα , ξεχωρίζοντας την μια ενότητα από τις άλλες αποκτούσα μια επιφανειακή και πολύ μικρή ιδέα του προβλήματος. Έτσι κατανόησα πως θα πρέπει να δω το κάθε  μοτίβο που μελετούσα ενταγμένο στο σύνολο της δομής των φυσικών αριθμών την συνολική τους αναλογία, καθώς οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα μικρό υποσύνολο των φυσικών αριθμών.     

 Η παραπάνω σκέψη μου, έγινε επιδίωξη να αναζητώ μοτίβα αναλογίας που εμπεριέχουν όσο το δυνατό περισσότερες αναλογικές παραμέτρους που καθορίζουν την συμπεριφορά των αριθμών. Συνδυασμούς μοτίβων αναλογίας που δεν περιέχουν μόνο πρώτους αριθμούς αλλά όλους τους φυσικούς αριθμούς.

«Αυτή η προσέγγιση της ερμηνείας των πρώτων αριθμών στηριζόμενη αποκλειστικά στην αναλογία, είναι πιθανώς μια καλή προσεγγιστική ιδέα.»

Η λογική στην προσπάθειά κατανόησής τους μου λέει πως υπάρχει μια «ολιστική» θεωρία που δεν έχει αδύνατα σημεία.

Μία θεωρία που στηρίζεται στον συνδυασμό αναλογιών που θα ερμηνεύει όλη την συμπεριφορά των πρώτων αριθμών, Riemann hypothesis, Goldbach, κατανομή πρώτων κλπ. Ελπίζω να μπορέσω να την ολοκληρώσω.» Φεβρ 2018.

Τώρα μπορώ να πω με βεβαιότητα πλέον πως η αρχική μου «διαίσθηση», να ακολουθήσω τον δρόμο της «αναλογίας» σαν απόδειξη στο θεώρημα των πρώτων αριθμών, αποδείχθηκε ορθή. Ιούλιος 2023.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΜΕΡΟΣ 1

Εισαγωγή:

Κεφάλαιο 1. Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.

Σε αυτό το πρώτο μέρος θα αναφερθούμε συνοπτικά αλλά «αποδεικτικά» στα θέματα που αναφέρουμε. Στις δημοσιεύσεις που ακολουθούν άμεσα θα γίνει για το κάθε θέμα αναλυτικότατη παρουσίαση.

Οι  νέες δημοσιεύσεις που θα ακολουθήσουν άμεσα  αφορούν το πρώτο μέρος της εργασίας μου και περιλαμβάνει αναλυτικές αποδείξεις για τα παρακάτω θέματα.

Έχουν ήδη δημοσιευθεί τα μοτίβα των πρώτων αριθμών τώρα μπορούν να συσχετιστούν και με τις νέες αποδείξεις και να γίνουν περισσότερο κατανοητά.

• Ο «τελεστής» περιοδικός πίνακας μέτρησης των πρώτων αριθμών.
• Ο ορισμός και οι ιδιότητες των γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών.
• Ο ασυμπτωτικός κανόνας της κατανομής των πρώτων αριθμών.
• Πως δημιουργείται και μετράται η ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών;
• Πως ομαλοποιείται η συνεχώς αυξανόμενη ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.
• Τι είναι το σφάλμα πρόβλεψης.
• Τι είναι το προσεγγιστικό σφάλμα.
• Γιατί το σχετικό σφάλμα της προσέγγισης προσεγγίζει το 0 όσο το x αυξάνεται χωρίς όριο.
• Η ερμηνεία και η συσχέτιση της Riemann hypothesis με την συνάρτηση ζ των γνησίων πολλαπλασίων στο επίπεδο των φυσικών αριθμών.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Από την διεθνή βιβλιογραφία.

Κομβικό ρόλο στην μελέτη της θεωρίας των αριθμών έπαιξε η συνάρτηση ζ λόγω της σύνδεσης μεταξύ της συνάρτησης ζ και της π(x). Η όλη διαδικασία είναι ένα επικαιροποιημένο κόσκινο του Ερατοσθένη. Βικιπαίδεια.

Στη θεωρία αριθμών , ένα γινόμενο Euler είναι μια επέκταση μιας σειράς Dirichlet σε ένα άπειρο γινόμενο που ευρετηριάζεται με πρώτους αριθμούς . Το αρχικό τέτοιο γινόμενο δόθηκε για το άθροισμα όλων των θετικών ακεραίων αριθμών που αυξήθηκαν σε μια ορισμένη ισχύ όπως αποδείχθηκε από τον Leonhard Euler . Αυτή η σειρά και η συνέχισή της σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο θα γίνει αργότερα γνωστή ως η συνάρτηση ζήτα Riemann .

Ο Riemann έδειξε τη σημασία της μελέτης της συνάρτησης (ζ) για μια σειρά προβλημάτων στη θεωρία αριθμών που επικεντρώνονται στην κατανομή των πρωταρχικών αριθμών και απέδειξε περαιτέρω ότι πολλά από αυτά τα προβλήματα θα μπορούσαν να επιλυθούν εάν κάποιος γνώριζε τη θέση των μηδενικών.

Η συνάρτηση ζήτα  είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s και ορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης άπειρης σειράς, όταν ο μιγαδικός αριθμός s έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας.

Με βάση τη συνάρτηση ζ ο Riemann διατύπωσε ίσως τη πιο διάσημη εικασία όλων των εποχών. Σε αυτή τη μνημειώδη εργασία του, έδωσε έναν τύπο που δίνει με πολύ καλύτερη προσέγγιση το πλήθος των πρώτων αριθμών από το 1 ως το Ν και έδινε μία οριστική απάντηση στο πρόβλημα που είχε διατυπώσει ο Gauss. Βικιπαίδεια.

ΟΙ επισημάνσεις σε γκρι φόντο είναι παραπομπές από την διεθνή βιβλιογραφία.

Μπορεί η συνάρτηση ζ στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών να οριστεί και στο πεδίο των φυσικών αριθμών και να αποτελεί έναν τύπο που να προσεγγίζει καλύτερα το πλήθος των πρώτων αριθμών από το 1 ως το Ν και να δίνει μια οριστική απάντηση στο πρόβλημα που είχε διατυπώσει ο Gauss.

Να περιγράφει και να εξηγεί και τα υπόλοιπα προβλήματα του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

• Τον τελεστή περιοδικό πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών στο πεδίο των φυσικών αριθμών.
• Τον ασυμπτωτικό κανόνα της κατανομής των πρώτων αριθμών.
• Πως δημιουργείται και μετράται η ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών;
• Πως ομαλοποιείται η συνεχώς αυξανόμενη ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.
• Τι είναι το σφάλμα πρόβλεψης.
• Τι είναι το προσεγγιστικό σφάλμα.
• Και όλα τα θεωρήματα των πρώτων αριθμών.

Με βάση την συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών θα επιχειρήσουμε να δώσουμε τις απαντήσεις.

Ο ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

Η συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Από την διεθνή βιβλιογραφία.

Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε;

Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας.…Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά.

Προκειμένου ο Ρίμαν να συμπληρώσει το τμήμα που λείπει από τη συνάρτηση δεδομένων του Euler έπρεπε να δημιουργήσει μια ολοκαίνουργια συνάρτηση, η συνάρτηση θα έπαιρνε τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση ζήτα (ζ) όπου και οι δύο συγκλίνουν, αλλά έπρεπε να έχει νόημα και παντού στο επίπεδο.

Ο Riemann έδειξε τη σημασία της μελέτης της συνάρτησης (ζ) για μια σειρά προβλημάτων στη θεωρία αριθμών που επικεντρώνονται στην κατανομή των πρωταρχικών αριθμών και απέδειξε περαιτέρω ότι πολλά από αυτά τα προβλήματα θα μπορούσαν να επιλυθούν εάν κάποιος γνώριζε τη θέση των μηδενικών.

Οι Berry  and  Keating  θεωρούν ότι το σωστό κβαντικό σύστημα θα έχει μία άπειρη συλλογή περιοδικών τροχιών, μία για τον κάθε πρώτο αριθμό.

Οι επιστήμονες παρουσίασαν έναν “τελεστή” που ικανοποιεί την εικασία Hilbert-Poya, η οποία δηλώνει ότι υπάρχει ένας διαφορικός τελεστής του οποίου ιδιοτιμές αντιστοιχούν ακριβώς στα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann.

1.   Η συνάρτηση ζ:

Από το «κόσκινο του Ερατοσθένη» στο επικαιροποιημένο «κόσκινο», των Euler, Riemann, Dirichlet, Chebyshev… μια διαφορετική προσέγγιση της συνάρτησης ζ.

Το «κόσκινο του Ερατοσθένη» σαν μέθοδος μέτρησης των πρώτων αριθμών στηρίζεται στην αναλογία των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών, δεν έχει αδυναμία μέτρησης των πρώτων αριθμών, αλλά η μέθοδος γίνεται συνεχώς πιο αργή και πολύπλοκη και όσο το χ αυξάνεται σχεδόν χαοτική. Το ιδανικό «κόσκινο του Ερατοσθένη» θα ήταν να μπορεί με βάση μια αναλογία των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών να διαγράψει (μετρήσει) μόνο μια φορά τους σύνθετους αριθμούς που είναι τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσοτέρων πρώτων αριθμών.

Μετρώντας άμεσα τα πολλαπλάσια τους θα μετράει «έμμεσα» το πλήθος των πρώτων αριθμών.

Η μέτρηση των πρώτων αριθμών θα σχετίζεται άμεσα από το πλήθος των πολλαπλασίων που οι ίδιοι δημιουργούν.

Οι μετέπειτα προσπάθειες πρόβλεψης- προσέγγισης της μέτρησης των πρώτων αριθμών με βάση την συνάρτηση ζ ,είναι μια επικαιροποιημένη μέθοδος του «κόσκινου του Ερατοσθένη».

Όλες οι προσεγγιστικές προσπάθειες στηρίχτηκαν σε μια διαφορετική ερμηνεία του «προβλήματος της βασιλείας» ,της συνάρτησης ζ, όταν το 1737, ο Euler συσχέτισε τη μελέτη των πρώτων αριθμών με αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως συνάρτηση ζήτα Riemann:

Οι προσεγγίσεις στηρίζονται στην ίδια αρχή «μέθοδο», από την συνάρτηση ζ απαλείφουν σε κάθε βήμα τις ίδιες ακολουθείς αριθμών, έτσι ώστε σε κάθε νέο βήμα να μένουν περισσότεροι πρώτοι αριθμοί και λιγότεροι σύνθετοι.

2,3. Η συνάρτηση ζ με την μέθοδο του γινομένου Euler, της συνάρτησης ζ του Riemann στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών

4. Η  συνάρτηση ζ των γνησίων πολλαπλασίων στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

2.  Ο Euler:

Το πρόβλημα της Βασιλείας προσεγγίστηκε από τον Euler το 1735, περίπου 45 χρόνια μετά τη διατύπωσή του.

Να υπολογιστεί το άθροισμα :  1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+⋯

Λίγη ώρα επεξεργασίας του αθροίσματος είναι αρκετή για να υποθέσει κανείς ότι η σειρά συγκλίνει και μάλιστα σε έναν αριθμό περίπου ίσο με 1,645 αλλά ποιον;

Το 1737, ο Euler συσχέτισε τη μελέτη των πρώτων αριθμών με αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως συνάρτηση ζήτα Riemann: έδειξε ότι η τιμή(1) ζ(1)ανάγεται σε έναν λόγο δύο άπειρων γινομένων, Π p / Π ( p –1), για όλους τους πρώτους p , και ότι ο λόγος είναι άπειρος.  Ο Euler υπέθεσε ότι μπορεί να εκφράσει ένα άπειρο άθροισμα σαν γινόμενο παραγόντων που ορίζονται από τις λύσεις του όπως ακριβώς κάνουμε για τα πεπερασμένα πολυώνυμα.

Ο Όιλερ συνέδεσε τη μορφή της κατάταξης των πρώτων αριθμών με ιδέες στην ανάλυση. Απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει. Με αυτό τον τρόπο, ανακάλυψε τη σχέση μεταξύ της Ζήτα συνάρτησης και των πρώτων αριθμών, και αυτό είναι γνωστό ως τύπος του Όιλερ για τη Ζήτα συνάρτηση.

Ο Euler , στην απόδειξή του για το γινόμενο Euler της ζ-συνάρτησης του Riemann, χρησιμοποίησε μια έκδοση του κόσκινου του Ερατοσθένη, η οποία ήταν καλύτερη γιατί κάθε αριθμός απαλειφόταν ακριβώς μια φορά. Σε αντίθεση με το κόσκινο του Ερατοσθένη που διαγράφει πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών που βρίσκει από την ίδια ακολουθία, το κόσκινο του Όιλερ χρησιμοποιεί ακολουθίες που έχουν δημιουργηθεί διαδοχικά από πολλαπλάσια των προηγούμενων πρώτων αριθμών: Βικιπαίδεια.

Να υπολογιστεί το άθροισμα :  1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+⋯

Βήμα πρώτο:

Α. Αρχίζουμε με όλους τους φυσικούς αριθμούς εκτός από το ‘1’ που δεν είναι πρώτος αριθμός:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27…

Β. Ο αριθμός 2 στα αριστερά είναι πρώτος. Πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό στη λίστα με αυτόν και αγνοούμε τα γινόμενα (4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … )

Διαγράφονται: 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 …

Διαγράφονται όλα τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 2, οι σύνθετοι αριθμοί που έχουν σαν κοινό πρώτο παράγοντα τον μικρότερο πρώτο αριθμό τον 2 

Παραμένουν:  2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 …

Παραμένουν μόνο οι πρώτοι αριθμοί και τα γνήσια πολλαπλάσια των μεγαλυτέρων του 2 πρώτων αριθμών.

Βήμα δεύτερο:

Γ. Ο αριθμός 3 πριν τον προηγούμενο πρώτο είναι επίσης πρώτος. Πολλαπλασιάζουμε με αυτόν κάθε αριθμό στη λίστα αρχίζοντας από αυτόν τον πρώτο και αγνοούμε τα γινόμενα (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 …)

Διαγράφονται: 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 …

Διαγράφονται μόνο τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 3, , οι σύνθετοι αριθμοί που έχουν σαν κοινό πρώτο παράγοντα τον μικρότερο πρώτο αριθμό τον 3. 

Παραμένουν : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 …

 Παραμένουν μόνο οι πρώτοι αριθμοί και τα γνήσια πολλαπλάσια των μεγαλυτέρων του 3 πρώτων αριθμών.

Μετά την αφαίρεση των γνησίων πολλαπλασίων του κάθε πρώτου αριθμού π.χ του(3) , μέχρι το τετράγωνο  του επόμενου μεγαλύτερου πρώτου αριθμού (5Χ5=25) όλοι οι αριθμοί είναι πρώτοι αριθμοί. Κ.ο.κ.

Στο πρώτο βήμα απαλείψαμε όλους τους  σύνθετους αριθμούς που έχουν σαν κοινό πρώτο παράγοντα τον μικρότερο πρώτο αριθμό τον 2. Αυτά είναι όλα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 2.Οι αριθμοί που είναι γινόμενα του ίδιου πρώτου αριθμού και των δυνάμεων του και των μεγαλυτέρων πρώτων αριθμών και των δυνάμεών τους. Στο δεύτερο  βήμα τα αντίστοιχα γνήσια πολλαπλάσια του 3, μετά με 5 κοκ. Έτσι δημιουργείται ο τελεστής περιοδικός πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών, από τα αθροίσματα (ποσοστά %) όλων των ακολουθιών των γνησίων πολλαπλασίων. Αφαιρούμε συνεχώς ακολουθίες σύνθετων αριθμών και παραμένουν οι πρώτοι αριθμοί.

Το κόσκινο του Όιλερ χρησιμοποιεί ακολουθίες που έχουν δημιουργηθεί διαδοχικά από πολλαπλάσια των προηγούμενων πρώτων αριθμών: Βικιπαίδεια

Αυτοί οι αριθμοί είναι οι φυσικοί σύνθετοι αριθμοί που είναι τα κοινά πολλαπλάσια δύο οι περισσοτέρων πρώτων αριθμών και έχουν ελάχιστο κοινό διαιρέτη τον ίδιο πρώτο αριθμό.

Το κόσκινο του Euler είναι μια καλή λύση για την παραγωγή άπειρων ακολουθιών πρώτων αριθμών .

Παραπομπές από την Διπλωματική εργασία του ΤΣΙΡΙΓΟΥ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ: «Πρώτοι Αριθμοί και Μέθοδοι Κοσκινοποίησης Αριθμών» . Επιβλέπων Καθηγητής: Φελλούρης Ανάργυρος, Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 2016.

3.  Bernhard Riemann

Στο πρώτο βήμα απαλείψαμε όλα τα κλάσματα που είχαν για παρανομαστή δύναμη με βάση τις δυνάμεις τους 2 ,  οι σύνθετοι αριθμοί που έχουν σαν κοινό πρώτο παράγοντα τον μικρότερο πρώτο αριθμό τον 2  , έχουν παρανομαστή γινόμενα με κοινό πρώτο παράγοντα τον πρώτο αριθμό 2, (τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 2), στο δεύτερο τα αντίστοιχα με 3 (τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 3), μετά με 5 κοκ.

Η όλη διαδικασία είναι προφανώς ένα επικαιροποιημένο κόσκινο του Ερατοσθένη. Αν η διαδικασία συνεχιστεί για όλους τους πρώτους τελικά προκύπτει η ισότητα=1.

Η συνάρτηση ζ λοιπόν είναι ίση με ένα γινόμενο που εμπλέκονται μόνο οι πρώτοι αριθμοί. Στη πραγματικότητα η σχέση αυτή είναι άλλη μία απόδειξη ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι. Πράγματι, αν θέσουμε 𝑠 = 1 το αριστερό μέλος είναι η αρμονική σειρά που αποκλίνει άρα και το δεξί μέλος είναι άπειρο που συμβαίνει μόνο αν οι παράγοντας του δεξιού γινομένου είναι άπειροι. Άρα οι πρώτοι είναι άπειροι.

Η ανακάλυψη αυτή είναι σημαντική αλλά η κομψή απόδειξη είναι του Euler. O Riemann σε αυτή τη μνημειώδη εργασία του, έδωσε έναν τύπο που δίνει με πολύ καλύτερη προσέγγιση το πλήθος των πρώτων αριθμών από το 1 ως το Ν αλλά επίσης και ένα τρόπο, μέσω των ριζών της συνάρτησης ζ, να απαλλαγούμε από οποιοδήποτε σφάλμα και να το υπολογίζουμε ακριβώς.

Ουσιαστικά, ο Riemann κατάφερε να σχεδιάσει έναν τύπο που δίνει ακριβώς το πλήθος των πρώτων μεταξύ 1 και Ν. Το πυκνογραμμένο κείμενο των σελίδων, παραδόξως έδινε μία οριστική απάντηση στο πρόβλημα που είχε διατυπώσει ο Gauss, όμως δεν έδινε καν την απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών.

Η συνάρτηση ζήτα  είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s και ορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης άπειρης σειράς, όταν ο μιγαδικός αριθμός s έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας.

Μπορεί η συνάρτηση ζ στο επίπεδο των φυσικών αριθμών να είναι μια συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής  και να ορίζεται με τη βοήθεια μιας άπειρης σειράς φυσικών αριθμών.

4. Η συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών.     

Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 παραγοντοποιείται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, αν δεν λάβουμε υπόψιν μας την σειρά των παραγόντων στο γινόμενο.

Διατάσσουμε τους πρώτους αριθμούς κατά αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Αν ένας αριθμός επαναλαμβάνονται, τότε αυτός αντικαθίσταται από μια δύναμη με βάση τον αριθμό και εκθέτη ίσο τον αριθμό των φορών επανάληψης.

Αυτή η μορφή παραγοντοποίσης μπορεί να ονομαστεί ως συντμημένη μορφή γινομένου. Βικιπαίδεια.

Γνήσια πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών.

• Σαν τα μοναδικά γνήσια πολλαπλάσια ενός πρώτου αριθμού ορίζουμε τα πολλαπλάσια του που έχουν εκτός της μονάδας σαν μικρότερο κοινό πρώτο παράγοντα τον ίδιο πρώτο αριθμό. Για παράδειγμα, τα μοναδικά γνήσια πολλαπλάσια του 5 είναι 5 και 25,35,55…Αυτοί οι αριθμοί αριθμούνται μία και μοναδική φορά στο όνομα κάθε πρώτου αριθμού σαν τα γνήσια πολλαπλάσιά του.
• Κάθε πρώτος αριθμός στους φυσικούς αριθμούς είναι και μια «μη τετριμμένη ρίζα» των μιγαδικών αριθμών.
• Ένας ρητός συντελεστής με την μορφή «τελεστή» που ο κάθε πρώτος αριθμός δημιουργεί την μοναδική του περιοδική συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων του.
• Είναι οι ακολουθίες των αριθμών που αφαιρούνται σε κάθε βήμα στην συνάρτηση ζ των μιγαδικών αριθμών.
• Είναι οι ακολουθίες των αριθμών που αφαιρούνται σε κάθε βήμα στην συνάρτηση ζ των φυσικών αριθμών.
• Οι τελεστές των πρώτων αριθμών αθροιζόμενοι δημιουργούν και τον «τελεστή» περιοδικό πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Από τα πολλαπλάσια  ενός πρώτου αριθμού που έχουν συμπτωτική κατανομή (αριθμητική πρόοδος, ρητός συντελεστής) αφαιρούμε τα κοινά του πολλαπλάσια με τους μικρότερους πρώτους αριθμούς ,αυτά που απομένουν είναι τα μοναδικά γνήσια πολλαπλάσια του που έχουν πλέον περιοδική (ρητός ο τελεστής) αλλά ασυμπτωτική κατανομή.

Τα γνήσια πολλαπλάσια κάθε πρώτου αριθμού είναι άπειρα και δημιουργούν μια περιοδική συνάρτηση με ασυμπτωτική κατανομή των περιοδικών όρων της, που επαναλαμβάνεται απείρως.

Η άπειρη περιοδική συνάρτηση των ασυμπτωτικών γνησίων πολλαπλασίων (σύνθετοι αριθμοί) κάθε πρώτου αριθμού δημιουργεί και την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.

Εκείνο που δεν έγινε αντιληπτό μέχρι σήμερα είναι ότι αυτές οι ακολουθίες των γνησίων πολλαπλασίων του κάθε πρώτου αριθμού που αφαιρούνται από την συνάρτηση ζ σε κάθε βήμα, είναι μετρήσιμο μέγεθος και αναλογικό. Με βάση τον ρητό, αναλογικό «τελεστή» κάθε πρώτου αριθμού.

Από το σύνολο των φυσικών αριθμών διαγράφουμε τις άπειρες περιοδικές ακολουθίες των γνησίων πολλαπλασίων των άπειρων πρώτων αριθμών και παραμένουν συνεχώς περισσότεροι πρώτοι αριθμοί και συνεχώς λιγότεροι σύνθετοι αριθμοί.

Οι ακολουθίες των γνησίων πολλαπλασίων που αφαιρούνται:

Στο πεδίο των φυσικών αριθμών από την συνάρτηση ζ αφαιρούμε σε κάθε βήμα την περιοδική και ασυμπτωτική άπειρη ακολουθία των γνησίων πολλαπλασίων ενός πρώτου αριθμού.

Την περιοδική συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού την δημιουργεί ο μοναδικός  ρητός συντελεστής με την μορφή του «τελεστή» του κάθε πρώτου αριθμού.

Τα γνήσια πολλαπλάσια είναι σύνθετοι αριθμοί που αριθμούνται (αφαιρούνται) μόνο μια φορά από την συνάρτηση ζ στο όνομα ενός μόνου πρώτου αριθμού.

Οι περιοδικές ασυμπτωτικές συναρτήσεις γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 2,3,5,7, που αφαιρούνται σε κάθε βήμα από την συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Η συνάρτηση g(n) των γνησίων πολλαπλασίων πριν γίνει ίση με ένα γινόμενο που εμπλέκονται μόνο οι πρώτοι αριθμοί, αφαιρεί σε κάθε βήμα μια ρητή ακολουθία σύνθετων αριθμών τα γνήσια πολλαπλάσια ενός πρώτου αριθμού.

Η συνολική συνάρτηση ζ που δημιουργείται έχει αφαιρέσει διαδοχικά τα γνήσια πολλαπλάσια από όλους τους προηγούμενους πρώτους αριθμούς.

Η συνάρτηση ζ των γνησίων πολλαπλασίων είναι αναλογικό μετρήσιμο μέγεθος.

Με βάση την αναλογία % των πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού.

Οι ακολουθίες αριθμών (τα γνήσια πολλαπλάσια ενός πρώτου αριθμού) που αφαιρούνται σε κάθε βήμα.

Οι αριθμοί που παραμένουν περιέχουν πλέον μόνο μονούς αριθμούς και τα γνήσια πολλαπλάσια των μεγαλύτερων του 2 πρώτων αριθμών.

Στην ακολουθία των φυσικών αριθμών (2): 1 2 3 4 5 6 7…στο πρώτο βήμα απαλείφουμε όλους τους αριθμούς που έχουν σαν κοινό πρώτο παράγοντα τον μικρότερο ίδιο πρώτο αριθμό τον 2, δηλαδή όλους τους ζυγούς αριθμούς. Αυτά είναι όλα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 2. Οι αριθμοί που είναι  γινόμενα των δυνάμεων του πρώτου αριθμού 2 και δυνάμεων των μεγαλυτέρων πρώτων αριθμών.

4.1 Ο ασυμπτωτικός κανόνας της κατανομής των πρώτων αριθμών.

Οι αναλογικοί συντελεστές μέτρησης και κατανομής των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών δημιουργούν την συμπτωτική (αριθμητική πρόοδος) κατανομή των πολλαπλασίων τους.  Πίνακας Α.

Μετά την αφαίρεση των κοινών πολλαπλασίων του 3 ( σαν τα γνήσια πολλαπλάσιά του) με όλους τους μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς, την συμπτωτική (αριθμητική πρόοδο) των πολλαπλασίων τους την μετατρέπει σε μια ασυμπτωτική ακολουθία γνησίων πολλαπλασίων για κάθε πρώτο αριθμό. Πίνακας Β.

Τον ρητό συντελεστή μέτρησης των πολλαπλασίων τους , σε ρητό «τελεστή» μέτρησης των γνησίων πολλαπλασίων τους.

Μια περιοδική συνάρτηση γνησίων πολλαπλασίων με ασυμπτωτική κατανομή αλλά με κατοπτρική συμμετρία , για κάθε πρώτο αριθμό.

Όσο μεγαλύτερος είναι ένας πρώτος αριθμός τόσο μεγαλύτερη είναι η ασυμπτωτική κατανομή των γνησίων πολλαπλασίων του και τόσο μεγαλύτερη είναι και η περιοδικότητα της συνάρτησης τους.

4.2. Το «παράδοξο» της συνάρτησης ζ .

Βλέπουμε πως τα γνήσια πολλαπλάσια των 5,7 και όλων των άλλων μεγαλύτερων πρώτων αριθμών πλέον έχουν ασυμπτωτική κατανομή, έχουν αφαιρεθεί από την αριθμητική πρόοδο των πολλαπλασίων τους τα κοινά τους πολλαπλάσια με τους μικρότερους πρώτους αριθμούς.

Η «αμφισημία»:

Την ασυμπτωτική κατανομή (πίνακας Β) των γνησίων πολλαπλασίων στους αριθμούς που απομένουν στο κάθε βήμα της συνάρτησης ζ την μετράει ο ίδιος ρητός συντελεστής (ποσοστό%) κάθε πρώτου αριθμού, που μετράει και την αριθμητική πρόοδο (συμπτωτική κατανομή) των πολλαπλασίων του στο σύνολο των  φυσικών  αριθμών. Πίνακας Α.

Πίνακας Α: Ο συντελεστής των πολλαπλασίων των 3,5,7 στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Πίνακας Β: Ο ίδιος συντελεστής πολλαπλασίων των 3,5,7 μετράει και τα γνήσια πολλαπλάσια τους στους αριθμούς που απομένουν στο κάθε βήμα (αφαίρεση) της συνάρτησης ζ.

Στον πίνακα Α ο ρητός συντελεστής των πρώτων αριθμών «μετράει» τον αριθμό των συμπτωτικών (αριθμητική πρόοδος) πολλαπλασίων του στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Στον πίνακα Β ο ίδιος ρητός συντελεστής «μετράει» τον αριθμό των ασυμπτωτικών του γνησίων πολλαπλασίων σε μικρότερο μέγεθος του συνόλου των φυσικών αριθμών. Η ασυμπτωτική κατανομή των γνησίων πολλαπλασίων μετατρέπει και τον ρητό συντελεστή , σε ένα συντελεστή προσέγγισης της αναλογίας.

Ένα παράδειγμα για ένα κοινό περιοδικό μοτίβο πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 3,5.

Στο μοτίβο 2Χ3Χ5Χ7=210 , εδώ μόνο οι 105 μονοί αριθμοί.

Μετά την αφαίρεση των γνησίων πολλαπλασίων του πρώτου αριθμού 2 παραμένουν μόνο οι μονοί αριθμοί πίνακας Α κάτω.

Έχει σημασία οι αριθμοί που παραμένουν είναι το 100% των μονών φυσικών αριθμών.

Οπότε όλοι οι συντελεστές πολλαπλασίων των άπειρων πρώτων αριθμών μπορούν να έχουν ρητή αναγωγή στο 100% του συνόλου των αριθμών.

Με κίτρινο χρώμα τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 3 που θα αφαιρεθούν σε αυτό το βήμα.

Θα παραμείνουν οι μεγαλύτεροι του πρώτοι αριθμοί και τα γνήσια πολλαπλάσιά τους.

Με μπλε χρώμα τα γνήσια πολλαπλάσια του 5 που παραμένουν.

Στους αριθμούς που παρέμειναν , όλοι οι μονοί αριθμοί, ο αναλογικός συντελεστής του 3= 105Χ33,33%=35 μετρά  σε αυτό το περιοδικό μοτίβο των αριθμών 2Χ3Χ5Χ7=210 (105 μονοί αριθμοί) ακριβώς τα πολλαπλάσιά του που είναι όλα γνήσια πολλαπλάσιά του. Ο αναλογικός συντελεστής του 5= 105 Χ 20%=21 μετρά τα όλα τα πολλαπλάσιά του όχι μόνο τα γνήσια. Ο τελεστής του 5=105 Χ 13,33%= 14 μετρά ακριβώς και τα γνήσια πολλαπλάσιά του. Το ίδιο και όλοι οι τελεστές των άπειρων πρώτων αριθμών.                      

Από το 1-210 τα γνήσια πολλαπλάσια το 3=33,33%= 35 αριθμούνται με τον ίδιο αναλογικό συντελεστή των πολλαπλασίων του, στους αριθμούς που παρέμειναν όλα τα πολλαπλάσια του 3 και είναι γνήσια πολλαπλάσιά του. Στους αριθμούς που παραμένουν σε κάθε βήμα μόνο τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού που θα αφαιρεθούν σε αυτό το βήμα μετρούνται με τον ίδιο αναλογικό συντελεστή των πολλαπλασίων του. Οι αναλογικοί συντελεστές  όλων των μεγαλύτερων πρώτων αριθμών μετρούν ακριβώς τα πολλαπλάσια τους που υπάρχουν στους αριθμούς που παρέμειναν. Δεν μπορούν να μετρήσουν τον ακριβή αριθμό των γνησίων πολλαπλασίων τους. Αυτό μπορούν να τα κάνουν οι «τελεστές» των γνησίων πολλαπλασίων τους, που μετασχηματίζονται σε κάθε βήμα.

Οι αριθμοί που παραμένουν.

Μετά την αφαίρεση  των γνησίων πολλαπλασίων του 3=35 από τους 105 αριθμούς έμειναν 70 οι μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί του 3 και τα γνήσια πολλαπλάσιά τους. Στην ίδια ακολουθία αριθμών.1-210.

Στους 70 αριθμούς που παρέμειναν ο κυρίαρχος πρώτος αριθμός τώρα είναι ο 5. Όλα τα πολλαπλάσιά του είναι γνήσια με τον αναλογικό του συντελεστή 5=20%.

Στο σύνολο των 70 αριθμών που έμειναν όλα τα πολλαπλάσια του 5 που υπάρχουν μετρούνται με τον αναλογικό του συντελεστή 70Χ20%=14. Με μπλε χρώμα και είναι όλα γνήσια πολλαπλάσια του 5=14.

Αφού έχουν αφαιρεθεί τα κοινά του πολλαπλάσια με τον μοναδικό του μικρότερο πρώτο αριθμό 3 όλα τα πολλαπλάσιά του είναι και γνήσια πολλαπλάσιά του. Όλοι οι σύνθετοι αριθμοί που υπάρχουν αν έχουν και τον 5 σαν κοινό πρώτο παράγοντα ο 5 θα είναι ο μικρότερος κοινός πρώτο παράγοντας, ο ορισμός των γνησίων πολλαπλασίων.

Σε αυτά τα μοτίβα αριθμών τώρα ο κυρίαρχος πρώτος αριθμός είναι ο 5, αυτοί είναι οι πρώτοι αριθμοί του 5.

Από τους συντελεστές πολλαπλασίων όλων των πρώτων αριθμών που είναι μεγαλύτεροι του 5 θα αφαιρείται το 20% των πολλαπλασίων τους που είναι κοινά πολλαπλάσια και του 5. Τώρα ο πρώτος αριθμός 5 μετασχηματίζει όλους τους άλλους συντελεστές πολλαπλασίων των άπειρων πρώτων αριθμών σε ρητούς «τελεστές», αφού αφαιρεί το 20% των κοινών πολλαπλασίων τους σαν τα δικά του γνήσια πολλαπλάσια.

Στο ίδιο μοτίβο αριθμών ο πρώτος αριθμός 7 με τον αναλογικό συντελεστή πολλαπλασίων του 7=14,28% μετρά ακριβώς τον αριθμό τους 79Χ14,28%=10. Δεν μπορεί να μετρήσει τα γνήσια πολλαπλάσιά του=8

Από αυτά το 10Χ20%=2 είναι κοινά πολλαπλάσια με τον κυρίαρχο πρώτο αριθμό 5 που τα αφαιρεί σαν γνήσια πολλαπλάσια στο όνομά του.

Από τον ρητό συντελεστή πολλαπλασίων του 7 =14,285% αφαιρούμε το 20% του ποσοστού του, για να προκύψει ο ρητός του “τελεστής” του που θα μετρά τα γνήσια πολλαπλάσιά του σε αυτό το μοτίβο αριθμών.

7=14,285% χ 20%=2,857%

14,285%-2,857%=11,429% , ο ρητός “τελεστής” του 7 που μετρά τα γνήσια πολλαπλάσιά του στους αριθμούς που απέμειναν σε αυτό το βήμα της συνάρτησης ζ.

70 χ 11,429%=8 γνήσια πολλαπλάσια του7.

Ο πρώτος αριθμός 5 δημιουργεί ένα διαφορετικό “τελεστή” περιοδικό πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών από τον αρχικό του 3. Μπορεί να μετρήσει τα γνήσια πολλαπλάσια και τους πρώτους αριθμούς που υπάρχουν στο σύνολο των αριθμών που παρέμειναν. Όχι στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Μετασχηματίζει τους συντελεστές των μεγαλύτερων πρώτων αριθμών σε «τελεστές» με διαφορετικό μετασχηματισμό, άρα και τον συνολικό δικό του τελεστή περιοδικό πίνακα κατανομής για αυτούς τους αριθμούς που παραμένουν.

Η συνάρτηση ζ σε κάθε βήμα δημιουργεί και ένα διαφορετικό μοτίβο κατανομής των πρώτων αριθμών, έναν διαφορετικά μετασχηματισμένο τελεστή περιοδικό πίνακα. Ένα διαφορετικό «τελεστή» περιοδικό πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών, ένα για κάθε διαφορετικό «τελεστή» γνησίων πολλαπλασίων, ένα για κάθε διαφορετικό πρώτο αριθμό.

Ο κάθε πρώτος αριθμός δημιουργεί και ένα δικό του «τελεστή» περιοδικό πίνακα κατανομής  πρώτων αριθμών για όλους τους άπειρους αριθμούς που παραμένουν σε κάθε βήμα της συνάρτησης ζ.

Ο αρχικός «τελεστής» περιοδικός πίνακας μετρά όλους τους πρώτους αριθμούς από το 1-Ν στο σύνολο των φυσικών αριθμών, στο σύνολο της συνάρτησης ζ.

Οι «τελεστές» περιοδικοί πίνακες των πρώτων αριθμών μετρούν όλους τους άπειρους πρώτους αριθμούς  σε μέρος του συνόλου των φυσικών αριθμών , στους αριθμούς που παραμένουν σε κάθε βήμα αφαίρεσης της συνάρτησης ζ.

Ο συνολικός περιοδικός «τελεστής» μετράει το σύνολο της συνάρτησης ζ και οι περιοδικοί «τελεστές» των πρώτων τα μέρη της.

Η συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών είναι μια απείρως αθροιζόμενη και μετασχηματιζόμενη συνάρτηση μέτρησης των γνησίων πολλαπλασίων που όταν θα αφαιρεθούν από το σύνολο των φυσικών αριθμών θα μετρήσουν και το πλήθος των πρώτων αριθμών.

Αντίστροφα αφαιρώντας συνεχώς από το σύνολο των φυσικών αριθμών τις άπειρες περιοδικές συναρτήσεις των ασυμπτωτικών γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών οι αριθμοί που παραμένουν θα είναι συνεχώς περισσότεροι πρώτοι και οι σύνθετοι συνεχώς λιγότεροι.

Υποσημείωση: Έχω αναφέρει πως τα θέματα των πρώτων αριθμών είναι αλληλο-σχετιζόμενα. Το μοτίβο των πρώτων αριθμών είναι ένα άπειρο μοτίβο αναλογίων το κάθε ένα από αυτά είναι και μια μεγάλη “σπουδή” εργασία.

Κανένα μοτίβο αναλογίας δεν έχει εφαρμογή σε ένα μόνο θεώρημα , υπόθεση ,κ.λ.π επειρεάζει και αποδυκνύει και άλλα. Ο καλύτερος τρόπος που “βρήκα” για υπάρχει συνοχή στην απόδειξη κάθε θέματος είναι να μην επεκτείνομαι στην ανάλυση κάθε αναλογίας παρά μόνο στο μέγεθος που επαρκεί να γίνει κατανοητή η απόδειξη του συγκεκριμένου θέματος. Διαφορετικά θα έπρεπε να βρίσκονται ταυτόχρονα “ανοιχτα” πολλά θεωρήματα και να εξηγούνται ταυτόχρονα.

Η συνάρτηση ζ έχει και άλλες ουσιώδεις ιδιότητες, προεκτάσεις, και εφαρμογή σε άλλα βασικά θεωρήματα. Σκόπιμα δεν επεκτάθηκα στην ανάλυση τους γιατί αφορούν την επόμενη σημαντική δημοσίευση μου.

5.  Σφάλμα πρόβλεψης – σφάλμα προσέγγισης:

Αυτή η εξορισμού «αμφισημία» πρώτος αριθμός ή πρώτο γνήσιο πολλαπλάσιο δημιουργεί σε όλες τις μεθόδους προσέγγισης της συνάρτησης ζ, στην μέτρηση των πρώτων και το σφάλμα πρόβλεψης ( του πρώτου γνήσιου πολλαπλάσιου) που είναι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί, που έρχεται να προστεθεί στο σφάλμα προσέγγισης του ρητού τελεστή σε κάθε περιοδική συνάρτηση λόγω της ασυμπτωτικής κατανομής των γνησίων πολλαπλασίων.

1. Έχουμε το σφάλμα πρόβλεψης του πρώτου και μοναδικού γνησίου πολλαπλασίου στον ρητό τελεστή των γνησίων πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού.
2. Έχουμε και το σφάλμα προσέγγισης του ρητού τελεστή ενδιάμεσα σε κάθε περιοδική συνάρτηση λόγω της ασυμπτωτικής κατανομής των γνησίων πολλαπλασίων. Στο τέλος κάθε περιοδικής συνάρτησης το σχετικό σφάλμα προσέγγισης γίνεται ίσο με το μηδέν. Δεν μεταφέρεται – δεν αθροίζεται σφάλμα προσέγγισης σε κάθε περιοδική συνάρτηση.
3. Και τα δύο σφάλματα έχουν σταθερό μέγεθος και όσο το χ αυξάνεται δίχως όριο τόσο το σχετικό σφάλμα πρόβλεψης- προσέγγισης, προσεγγίζουν το μηδέν.
4. Αν μετρήσουμε τον πρώτο αριθμό σαν το πρώτο γνήσιο πολλαπλάσιο τότε έχουμε περιοδικές συναρτήσεις με ασυμπτωτική κατανομή των όρων τους και έχουμε μόνο το σχετικό σφάλμα προσέγγισης της αναλογίας του ρητού τελεστή ενδιάμεσα σε κάθεπεριοδικότητα. Δεν έχουμε σφάλμα πρόβλεψης στον υπολογισμό των γνησίων πολλαπλασίων και των πρώτων αριθμών.
5. Το πλήθος των βημάτων της συνάρτησης ζ είναι το πλήθος των πρώτων αριθμών.

Α. Το σφάλμα πρόβλεψης προσέγγισης της αναλογίας των πολλαπλασίων στο «κόσκινο του Ερατοσθένη».

Από τις αριθμητικές προόδους των πολλαπλασίων που αφαιρεί σε κάθε βήμα το κόσκινο του Ερατοσθένη αν το πρώτο πολλαπλάσιο μετρηθεί σαν πρώτος αριθμός είναι το μοναδικό σφάλμα μέτρησης των άπειρων πολλαπλασίων του. Το ένα από τα άπειρα πολλαπλάσιά του. Όσο το χ αυξάνεται δίχως όριο το σχετικό σφάλμα προσέγγισης προσεγγίζει το 0. Ο συντελεστής πολλαπλασίων του προσεγγίζει συνεχώς το όριο της αναλογίας του.

Αν μετρηθεί σαν το πρώτο πολλαπλάσιο (δεν υπάρχει πρώτος αριθμός) δεν υπάρχει σφάλμα μέτρησης , ο αριθμός των πολλαπλασίων σε κάθε περιοδικότητά του θα είναι ίσος με την αναλογία του

Β. Το σφάλμα πρόβλεψης προσέγγισης της αναλογίας των γνησίων πολλαπλασίων στο επικαιροποιημένο «κόσκινο του Ερατοσθένη» της συνάρτησης ζ, του γινομένου Euler, της συνάρτησης ζ του Riemann και της συνάρτησης ζ των γνησίων πολλαπλασίων.

Από τις περιοδικές και ασυμπτωτικές συναρτήσεις των γνησίων πολλαπλασίων που αφαιρεί σε κάθε βήμα η συνάρτηση ζ το πρώτο γνήσιο πολλαπλάσιο από τα άπειρα θεωρείται πρώτος αριθμός και η αναλογία του ρητού «τελεστή» γνησίων πολλαπλασίων έχει σφάλμα πρόβλεψης αυτό το ένα μοναδικό πρώτο γνήσιο πολλαπλάσιο. Όμως όσο αυξάνονται τα γνήσια πολλαπλάσια το σφάλμα πρόβλεψης μειώνεται και προσεγγίζει το όριο του ρητού «τελεστή» και το σφάλμα προσέγγισης προσεγγίζει το μηδέν. Πίνακας Β.

Αν μετρηθεί σαν πρώτος αριθμός τότε η ασυμπτωτική περιοδική συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων δεν έχει περιοδικότητα και κατοπτρική συμμετρία. Είναι μια άπειρη όρων ασυμπτωτική συνάρτηση που όσο το χ θα αυξάνεται δίχως όριο τόσο θα προσεγγίζει το όριο της αναλογίας της και το σχετικό σφάλμα προσέγγισης θα προσεγγίζει το 0.

Αν μετρηθεί σαν το πρώτο γνήσιο πολλαπλάσιο τότε η άπειρη συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων αποκτά περιοδικότητα (με κατοπτρική συμμετρία των ασυμπτωτικών όρων της) και το σφάλμα προσέγγισης στον κατοπτρικό μέσο και στο τέλος κάθε περιοδικής συνάρτησης γίνεται ίσο =0, δεν υπάρχει σφάλμα προσέγγισης.

Η συνάρτηση ζ σε κάθε βήμα μετράει τα γνήσια πολλαπλάσια ενός μόνου πρώτου αριθμού. Σε κάθε βήμα (αφαίρεση) υπάρχει το ίδιο σφάλμα πρόβλεψης του ενός αριθμού, του ίδιου του πρώτου αριθμού.

Το πρώτο από τα άπειρα γνήσια πολλαπλάσια κάθε πρώτου αριθμού εξ ορισμού το ορίζουμε σαν πρώτο αριθμό. Όσο τα γνήσια πολλαπλάσιά του αυξάνονται δίχως όριο τόσο το σφάλμα προσέγγισης του ορίου του ρητού «τελεστή» θα προσεγγίζει το μηδέν.

Αν αριθμήσουμε τους άπειρους σύνθετους φυσικούς αριθμούς μόνο μια φορά (σαν γνήσια πολλαπλάσια) τότε στο σύνολο των φυσικών αριθμών 100% , το πλήθος των γνησίων πολλαπλασίων θα τείνουν στο όριο του →≈100% και το πλήθος των πρώτων αριθμών θα τείνει στο όριο →≈0%.

Πίνακας Γ. Με κάθε επαναλαμβανόμενη περιοδική συνάρτηση γνησίων πολλαπλασίων (εδώ των 3,5) το σφάλμα πρόβλεψης προσέγγισης της ρητής αναλογίας των γνησίων πολλαπλασίων προσεγγίζει το όριο της και το σφάλμα προσέγγισης προσεγγίζει το μηδέν.

Σε κάθε επαναλαμβανόμενη μετά την αρχική περιοδική συνάρτηση γνησίων πολλαπλασίων δεν υπάρχει σφάλμα πρόβλεψης. Ενδιάμεσα σε κάθε περιοδικότητα λόγω της ασυμπτωτικής κατανομής των γνησίων πολλαπλασίων υπάρχει το σχετικό σφάλμα προσέγγισης της αναλογίας του ρητού τελεστή. Αυτό στο τέλος κάθε περιοδικότητας μηδενίζεται και δεν μεταφέρεται στην νέα περιοδικότητα.

6.  Ο «τελεστής» συντελεστής μέτρησης της συνάρτησης ζ .

• Ο ρητός συντελεστής κάθε πρώτου αριθμού μετράει τον αριθμό των «συμπτωτικών» πολλαπλασίων του στο σύνολο των φυσικών αριθμών.
• Η συνάρτηση ζ  δεν μπορεί να μετρήσει με τον ίδιο ρητό συντελεστή του κάθε πρώτου αριθμού τον αριθμό των γνησίων πολλαπλασίων που αφαιρείται σε κάθε βήμα στο σύνολο των φυσικών αριθμών , μόνο στους αριθμούς που παραμένουν.

Η συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών μπορεί να μετρήσει τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού που αφαιρούνται στο κάθε βήμα στο σύνολο των φυσικών αριθμών με τον ρητό «τελεστή» των πρώτων αριθμών.

• Ο ρητός «τελεστής» κάθε πρώτου αριθμού μετράει τον αριθμό των ασυμπτωτικών γνησίων πολλαπλασίων του στο σύνολο των φυσικών αριθμών.
• Η συνάρτηση ζ μετράει με τον ρητό «τελεστή» τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού που αφαιρούνται σε κάθε βήμα στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Έτσι σχηματίζεται ο τελεστής περιοδικός πίνακας κατανομής (μέτρησης) των πρώτων αριθμών στο πεδίο των φυσικών αριθμών. Η άπειρη περιοδική συνάρτηση ζ μέτρησης των γνησίων πολλαπλασίων των άπειρων πρώτων αριθμών, μετράει έμμεσα τους πρώτους αριθμούς στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Τα γνήσια πολλαπλάσια κάθε πρώτου αριθμού είναι ένα μετρήσιμο μέγεθος , είναι ένας ρητός συντελεστής κατανομής που έχει την μορφή «τελεστή». Σε κάθε βήμα αφαιρούμε τα γνήσια πολλαπλάσια ενός πρώτου αριθμού. Με την σειρά των 2,3,5,7…

Το κόσκινο του Όιλερ χρησιμοποιεί ακολουθίες αριθμών που έχουν δημιουργηθεί διαδοχικά από πολλαπλάσια των προηγούμενων πρώτων αριθμών: Βικιπαίδεια.

Το κόσκινο της συνάρτησης g(n) χρησιμοποιεί τις ίδεις ακολουθίες αριθμών (γνησίων πολλαπλασίων) που έχουν δημιουργηθεί διαδοχικά από γνήσια πολλαπλάσια των προηγούμενων πρώτων αριθμών:

Η όλη διαδικασία είναι προφανώς ένα επικαιροποιημένο κόσκινο του Ερατοσθένη όπως αποδόθηκε από τον  Euler, στην απόδειξή του για το γινόμενο Euler της ζ-συνάρτησης του Riemann, χρησιμοποίησε μια έκδοση του κόσκινου του Ερατοσθένη, η οποία ήταν καλύτερη γιατί κάθε αριθμός απαλειφόταν ακριβώς μια φορά.

Κάθε γνήσιο πολλαπλάσιο απαλείφεται ακριβώς μόνο μια φορά και ανήκει αριθμητικά και ονομαστικά σε ένα μόνο πρώτο αριθμό.

«Το πρώτο γνήσιο πολλαπλάσιο εξ ορισμού το ονομάζουμε πρώτο αριθμό. Το δεύτερο γνήσιο πολλαπλάσιο κάθε πρώτου αριθμού βρίσκεται στο τετράγωνό του. Έως το τετράγωνό του όλα τα πολλαπλάσια του είναι κοινά με τους μικρότερους πρώτους αριθμούς, είναι ήδη γνήσια πολλαπλάσια των μικρότερων πρώτων αριθμών, που αφαιρούνται από τα δικά του.»

7.  Ο τελεστής πίνακας μέτρησης των πρώτων αριθμών είναι η συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Για να μετρήσουμε ορίσουμε την συνάρτηση ζ στο σύνολο των φυσικών θα πρέπει να μετασχηματίσουμε τους ρητούς συντελεστές των πολλαπλασίων σε ρητούς με την μορφή  «τελεστή» των γνησίων πολλαπλασίων.

Ο ρητός «τελεστής» μέτρησης της συνάρτησης ζ , που μετράειτον αριθμό των γνησίων πολλαπλασίων του κάθε πρώτου αριθμού που αφαιρείται σε κάθε βήμα από το σύνολο των φυσικών αριθμών και παραμένουν συνεχώς περισσότεροι πρώτοι αριθμοί και λιγότερα γνήσια πολλαπλάσια των μεγαλύτερων πρώτων αριθμών.

Η διαδικασία μετασχηματισμού του «τελεστή» περιοδικού πίνακα μέτρησης των πρώτων αριθμών στους φυσικούς αριθμούς είναι ίδια με την συνάρτηση ζ  μέτρησης των πρώτων αριθμών στους μιγαδικούς αριθμούς.

8.  Από την συνάρτηση ζ των μιγαδικών αριθμών στην  συνάρτηση ζ των φυσικών αριθμών.

Η  συνάρτηση ζ στο επίπεδο των φυσικών αριθμών είναι μια συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής  και ορίζεται με τη βοήθεια μιας άπειρης σειράς φυσικών αριθμών των γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών.

Από την συνάρτηση ζ στον τελεστή πίνακα μέτρησης των πρώτων αριθμών στους φυσικούς αριθμούς.

Βήμα 1.

Από το 100% των φυσικών αριθμών αφαιρούμε το 50% που είναι οι ζυγοί αριθμοί τα πολλαπλάσια του 2, όλα τα πολλαπλάσια του 2 είναι και γνήσια πολλαπλάσια. Παραμένουν ο 2 και όλοι οι μονοί αριθμοί.

Βήμα 2.

Από το 100% των μονών φυσικών αριθμών αφαιρούμε το 33,33% που είναι τα πολλαπλάσια του 3. Όλα τα πολλαπλάσια του 3 (είναι και γνήσια πολλαπλάσιά του). Παραμένουν οι  2,3 και το 66,66% των μονών φυσικών αριθμών.

Βήμα 3.

Από το 66,66% των αριθμών που παραμένουν αφαιρούμε από τα πολλαπλάσια του 5=20% μόνο τα γνήσια πολλαπλάσια του 5. Τα κοινά του πολλαπλάσια με τον πρώτο αριθμό 3 έχουν ήδη αφαιρεθεί μόνο μια φορά σαν γνήσια πολλαπλάσια του 3.

Η συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού δημιουργείται από το τετράγωνό του και μετά, γιατί έως το τετράγωνό του τα πολλαπλάσιά του είναι όλα κοινά πολλαπλάσια με τους μικρότερους πρώτους αριθμούς , είναι ήδη γνήσια πολλαπλάσια των μικρότερων πρώτων αριθμών.

Από τον συντελεστή πολλαπλασίων του πρώτου αριθμού 5=20% αφαιρούμε το ποσοστό των κοινών του πολλαπλασίων με τους μικρότερους πρώτους αριθμούς εδώ μόνο με τον 3=33.33%.

20%Χ33,33%=6,66%.

20%-6,66%=13,33%

Ο πρώτος ρητός τελεστής γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών, τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 5=13,33% , είναι το ποσοστό των γνησίων πολλαπλασίων που αφαιρείται σε αυτό το βήμα από το πλήθος των αριθμών που έχουν απομείνει. Ήτοι: 66,66%-13,33%=53,33%.

Οι αριθμοί που απομένουν είναι οι 2,3,5 και όλοι οι μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί του 5 και τα γνήσια πολλαπλάσιά τους.

Ως τώρα από το σύνολο το 100% των μονών φυσικών αριθμών έχουμε αφαιρέσει το 33,33%+13,33%=46,66% των σύνθετων φυσικών αριθμών και απομένει το 53,33% του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Βήμα 4:

Από το 53,33% των μονών φυσικών αριθμών που έχουν απομείνει αφαιρούμε τα γνήσια πολλαπλάσια του επόμενου πρώτου αριθμού 7. Κατά τον ίδιο τρόπο όπως πριν.

Από τον συντελεστή πολλαπλασίων του 7=14,285% αφαιρούμε τα κοινά του πολλαπλάσια με τους 3=33,33%  τα γνήσια πολλαπλάσια του 3 και 5=13,33% , τα γνήσια πολλαπλάσια του 5, αφαιρούμε μόνο μια φορά ένα σύνθετο αριθμό.

14,285%Χ33,33%=4,762%.

14,285%Χ13,33%=1,905% +4,762%=6,666%.

14,285%-6,666%=7,619% τα γνήσια πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού 7.

Από τον πλήθος των αριθμών που είχαν απομείνει αφαιρούμε και τα γνήσια πολλαπλάσια του 7, ήτοι: 53,33%-7,619%=45,714% .

Οι αριθμοί που απομένουν από το σύνολο των φυσικών αριθμών (46,666%+7,619=54,285%) 100% – 54.285% = 45,714% είναι οι πρώτοι αριθμοί 2,3,5,7 και οι μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί και τα γνήσια πολλαπλάσιά τους.

Μέχρι και αυτό το βήμα 4 , έχουμε αφαιρέσει ήδη από το σύνολο άπειρων των φυσικών αριθμών το 54,285% των σύνθετων αριθμών.

Αφαιρετικά από το σύνολο των μονών φυσικών αριθμών 100%-54,285%=45,715% , Σε αυτό το μειωμένο ποσοστό των φυσικών βρίσκονται όλοι οι άπειροι πρώτοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 7.

Οι πρώτοι αριθμοί που υπάρχουν από το 1 έως το τετράγωνο του επόμενου μεγαλύτερου πρώτου αριθμού 11Χ11=121 μετρούνται με αυτό το συνολικό ποσοστό των τελεστών των (3,5,7=45,715%).  Από  1-121/2=60 (μονοί αριθμοί) τα ποσοστά είναι διαμορφωμένα για τους μονούς αριθμούς 60Χ45,715%=27 πρώτοι αριθμοί.

Προσθέτουμε και το σφάλμα πρόβλεψης τους πρώτους αριθμού 3,5,7=3 που τους μετρήσαμε σαν τα πρώτα γνήσια πολλαπλάσια στον υπάρχοντα αριθμό που βρήκαμε 27+3=30 πρώτοι αριθμοί από το 1-120.

Υπάρχουν 30 δεν υπολογίζεται καμιά φορά με την συνάρτηση ζ το σφάλμα πρόβλεψης και ο πρώτος αριθμός 2( μπορεί να προστεθεί +1 στον αριθμό των πρώτων που είναι κάθε φορά το σφάλμα πρόβλεψης)  και ο 1 μετράται πάντα σαν πρώτος αριθμός.

Έως τον αριθμό 120 ο  συνολικός τελεστής των πρώτων αριθμών που μετράει τους πρώτους αριθμούς  είναι ο συνολικός τελεστής έως τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό που είναι πλησιέστερος αλλά  7< √120=10,95.

Έτσι δημιουργείται ό «τελεστής» περιοδικός πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Αυτή είναι η συνάρτηση ζ ορισμένη στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

9.  Ο «τελεστής» περιοδικός πίνακας μέτρησης των πρώτων αριθμών.

Στο πεδίο των φυσικών αριθμών από την συνάρτηση ζ αφαιρούμε σε κάθε βήμα την περιοδική και ασυμπτωτική άπειρη ακολουθία των γνησίων πολλαπλασίων ενός πρώτου αριθμού.

Την περιοδική συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού την δημιουργεί ο μοναδικός  ρητός συντελεστής με την μορφή του «τελεστή» του κάθε πρώτου αριθμού.

Τα γνήσια πολλαπλάσια είναι σύνθετοι αριθμοί που αριθμούνται (αφαιρούνται) μόνο μια φορά από την συνάρτηση ζ στο όνομα ενός μόνου πρώτου αριθμού.

Όλοι οι τελεστές των πρώτων αριθμών είναι ρητοί αριθμοί.

Η συνάρτηση των γνησίων πολλαπλασίων g(n) μετράει την συνάρτηση ζ των μιγαδικών αριθμών στο αντίστοιχο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Η  συνάρτηση ζ ορίζεται στο αντίστοιχο πεδίο των φυσικών αριθμών και μετράει (αφαιρεί) σε κάθε βήμα τις περιοδικές συναρτήσεις των γνησίων πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού.

Τις ίδιες ακολουθίες αριθμών με την συνάρτηση ζ στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών.

Οι άρρητοι συντελεστές κατανομής των πρώτων αριθμών οι «μη τετριμμένες ρίζες» της συνάρτησης ζ του Riemann στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών προσεγγίζουν την αναλογία των ρητών  «τελεστών» των γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών της συνάρτησης ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών και βρίσκονται στο τετράγωνο κάθε πρώτου αριθμού.

Με βάση τη συνάρτηση ζ ο Riemann διατύπωσε ίσως τη πιο διάσημη εικασία όλων των εποχών. Σε αυτή τη μνημειώδη εργασία του, έδωσε έναν τύπο που δίνει με πολύ καλύτερη προσέγγιση το πλήθος των πρώτων αριθμών από το 1 ως το Ν και έδινε μία οριστική απάντηση στο πρόβλημα που είχε διατυπώσει ο Gauss.

Με βάση την συνάρτηση ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών δημιουργείται ο «τελεστής» περιοδικός πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών .

Ένας τύπος που δίνει με την αναλογία των ρητών «τελεστών» την καλύτερη προσέγγιση για το πλήθος των πρώτων μεταξύ 1 και Ν.

10.  Ο «τελεστής» περιοδικός πίνακας κατανομής και η συνάρτηση ζ του  Riemann.

Οι «μη τετριμμένες ρίζες» της συνάρτησης ζ του Riemann στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών είναι οι «τελεστές» των γνησίων πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών της συνάρτησης ζ στο πεδίο των φυσικών αριθμών.

Αυτή είναι μια πρώτη πολύ συνοπτική συσχέτιση των αποτελεσμάτων των δύο συναρτήσεων.

Στην αναλυτική παρουσίαση της Riemann hypothesis που θα δημοσιευθεί  άμεσα, η ταυτοποίηση των αποτελεσμάτων δύο συναρτήσεων περιέχει πολλές εκπλήξεις.

Οι αναλυτικές αποδείξεις για όλα τα θέματα που αναφέρονται υπάρχουν στα αντίστοιχα κεφάλαια των δημοσιεύσεων που ακολουθούν.

Την πρώτη δημοσίευση της εργασία μου την αφιερώνω στα παιδιά μου Βασίλη και Νικολέτα.