ΜΟΤΙΒΟ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
PART 2
Στο μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών με όλους τους φυσικούς αριθμούς (μονούς, ζυγούς) στον οριζόντιο άξονα , όπως αναλύθηκε διεξοδικά στην ενότητα 1 προκύπτει το μοτίβο κάτω. Το βασικό χαρακτηριστικό είναι πως οι πρώτοι αριθμοί του κατακόρυφου άξονα επαναλαμβάνονται με μονά (ροζ) μοτίβα και τα ζυγά (μπλε) μοτίβα δημιουργώντας την παραγοντοποίηση μονών και ζυγών αριθμών. Ταυτόχρονα δημιουργούν και ένα ξεκάθαρο γεωμετρικό μοτίβο που βρίσκει ποιος αριθμός είναι πρώτος όπως αναλύθηκε.
ΜΟΤΙΒΟ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΜΟΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
Σε ένα μοτίβο μόνο με μονούς αριθμούς στον οριζόντιο άξονα θα έχουμε ένα μοτίβο που θα είναι σε μέγεθος του μισού του μεγάλου μοτίβου των πρώτων αριθμών.
Το πρόβλημα που δημιουργείται είναι, πως θα δημιουργήσουμε ένα μοτίβο με εναλλασσόμενα μοτίβα (ροζ-μπλε) μονών ζυγών μοτίβων των πρώτων αριθμών όπως στο μεγάλο μοτίβο, για να έχουμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα , παραγοντοποίησης και εύρεσης πρώτων αριθμών. Η πρώτη επιλογή είναι να δημιουργήσουμε ένα μοτίβο παρόμοιο του μεγάλου μοτίβου. Όλα τα μοτίβα των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα αρχίζουν με ροζ χρώμα αφού είναι μονά πολλαπλάσια των πρώτων. (1χ3,1χ5,1χ7…) κανονικά . Οι αριθμοί του οριζόντιου άξονα εναλλάξ σαν μονοί (ροζ) ζυγοί (μπλε).
Το βασικό πρόβλημα είναι δεν υπάρχει ομοιομορφία σε όλα τα μοτίβα των πρώτων αριθμών του οριζόντιου άξονα με αυτά του κατακόρυφου άξονα. Π.χ στον πρώτο αριθμό 11,19,23 και όλων των πρώτων αριθμών που εμφανίζονται με μπλε χρώμα, δεν καταλήγουν και τα μοτίβα των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα στο ίδιο χρώμα αλλά σε μπλε χρώμα. Ενώ μπορούμε να προσδιορίσουμε αν είναι πρώτος αριθμός γιατί δεν καταλήγει άλλο μοτίβο σε αυτούς τους αριθμούς , για το οπτικό (μηχανικό) μοτίβο έχουμε προσδιορισμό των πρώτων αριθμών με διαφορετική δομή, χρωματικά μοτίβα. Αυτονόητο πως αν βάλουμε στον οριζόντιο άξονα όλους του αριθμούς με ροζ χρώμα επειδή είναι μονοί αριθμοί το πρόβλημα παραμένει.
Αν χρωματίσουμε και τους δύο άξονες εναλλάξ (ροζ) μονά και (μπλε) ζυγά μοτίβα σαν να συμπεριφέρονται οι μονοί αριθμοί και οι πρώτοι αριθμοί άλλοι σαν μονοί (ροζ) και άλλοι σαν ζυγοί(μπλε). Το πρόβλημα παραμένει.
ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ
Θα πρέπει να βρούμε ένα τρόπο να δημιουργήσουμε ένα μοτίβο πρώτων αριθμών με μονούς αριθμούς στον οριζόντιο άξονα , ώστε να έχουμε ομοιομορφία στα μοτίβα (μονά-ζυγά) και των δύο αξόνων, όπως στο μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών.
Για να διατηρήσουμε την δυνατότητα εύρεσης ενός αριθμού αν είναι πρώτος μόνο από το μοτίβο του, όπως στο μεγάλο μοτίβο θα πρέπει με ένα «τέχνασμα» να προσαρμόσουμε το μοτίβο των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα , έτσι ώστε άλλοι να συμπεριφέρονται κανονικά σαν μονοί αριθμοί και άλλοι σαν ζυγοί και ταυτόχρονα να είναι σε αρμονία με τους πρώτους αριθμούς του οριζόντιου άξονα. Για αυτό και τα μοτίβα των πρώτων αριθμών στον κατακόρυφο άξονα άλλα αρχίζουν με ροζ χρώμα (μονοί πρώτοι αριθμοί) και άλλα με μπλε χρώμα ( σαν ζυγοί πρώτοι αριθμοί). Με τον εξής τρόπο.
Στον οριζόντιο άξονα οι αριθμοί (σύνθετοι-πρώτοι) ταξινομούνται εναλλάξ (ροζ-μπλε) σαν να είναι μονοί – ζυγοί.
«Στη θεωρία αριθμών , το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακεραίων. Βικιπαίδεια.»
Στον κατακόρυφο άξονα που έχουμε μόνο πρώτους αριθμούς έχουμε πρόβλημα. Πώς πρέπει να ταξινομήσουμε τους ασυμπτωτικά κατανεμημένους πρώτους αριθμούς έτσι ώστε να συμπίπτουν οι επαναλήψεις των μοτίβων τους με τους αντίστοιχους σύνθετους και πρώτους αριθμούς του οριζόντιου άξονα και μάλιστα με το ίδιο χρώμα, δεδομένου ότι στον οριζόντιο άξονα έχουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς. Δηλαδή οι ασυμπτωτικοί πρώτοι αριθμοί του κατακόρυφου άξονα να προσαρμοστούν σε ένα μοτίβο συνεργασίας με όλους τους φυσικούς αριθμούς του οριζόντιου άξονα.
Μια πρώτη διαπίστωση από τις πολλές που υπάρχουν στο μοτίβο των πρώτων αριθμών για την ισχύ της θεωρίας Ντιρικλέ με διαφορετική προσέγγιση .
Παρατηρώντας προσεκτικά οι πρώτοι αριθμοί από το 1-55 του οριζόντιου άξονα ανήκουν σε δύο αριθμητικές προόδους. Σύμφωνα με την θεωρία Ντιρικλέ οι πρώτοι αριθμοί ισοκατανέμονται σε ίδιες αριθμητικές προόδους.
Αριθμητικές πρόοδοι με διαφορά 4. Σχήμα κάτω.
Αν αριθμήσουμε σαν μονούς ή ζυγούς όλους τους αριθμούς από το 1-55 και κατατάξουμε τους πρώτους αριθμούς σύμφωνα με την θέση (Μ-Ζ) που έχουν ,τότε παίρνουμε μια νέα κατάταξη των πρώτων αριθμών που είναι και η ζητούμενη . Με ροζ οι πρώτοι αριθμοί που θα συμπεριφέρονται σαν μονοί και με μπλε σαν ζυγοί. Σχήμα 1
ΜΟΤΙΒΟ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΩΝ ΜΟΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Για να διατηρήσουμε την δυνατότητα εύρεσης ενός αριθμού αν είναι πρώτος μόνο από το μοτίβο του, όπως στο μεγάλο μοτίβο θα πρέπει με ένα «τέχνασμα» να προσαρμόσουμε το μοτίβο των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα , έτσι ώστε ,άλλοι να συμπεριφέρονται κανονικά σαν μονοί αριθμοί και άλλοι σαν ζυγοί. Για αυτό και τα μοτίβα των πρώτων αριθμών στον κατακόρυφο άξονα άλλα αρχίζουν με ροζ χρώμα (μονοί πρώτοι αριθμοί) και άλλα με μπλε χρώμα ( σαν ζυγοί πρώτοι αριθμοί). Έτσι το μοτίβο των μονών αριθμών παίρνει την παραπάνω ξεχωριστή δική του μορφή.
Βλέπουμε πως όλα τα μοτίβα των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα κατά την επανάληψή τους συμπίπτουν και χρωματικά με τους αντίστοιχους πρώτους και σύνθετους αριθμούς του οριζόντιου άξονα που είναι και το ζητούμενο. Επιτυγχάνουμε έτσι την ξεκάθαρη εύρεση πιοι είναι πρώτοι αριθμοί μόνο από το οπτικό (μηχανικό μοτίβο) και την παραγοντοποίηση των σύνθετων μονών αριθμών , όπως στο αρχικό μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών.
Αναζητώντας κανονικότητες και περιοδικότητες.
Διαπιστώνουμε μια πρώτη ισοκατανομή των πρώτων αριθμών . Αν αριθμήσουμε οποιοδήποτε μέγεθος μονών αριθμών σε μονούς – ζυγούς τότε οι πρώτοι αριθμοί ισοκατανέμονται και σε μια διάταξη μονών και ζυγών. Αυτό δημιουργεί και την βασική υπόθεση πως οι πρώτοι αριθμοί δεν είναι τυχαία κατανεμημένοι και ότι κρύβουν περιοδικότητες και κανονικότητες.
«Η μη ύπαρξη ενός μοτίβου κατανομής τους, η φαινομενική ανισορροπία κατανομής και εμφάνισής τόσο των Π.Α (πρώτων αριθμών) όσο και των διδύμων (ΔΔ) δημιουργεί την υπόθεση ως τώρα, ότι η ακολουθία των ΠΑ θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια: Οι πρώτοι αριθμοί «συμπεριφέρονται» ως τυχαίοι αριθμοί.» (Ξένη δημοσίευση).
Ο Zagier καταγράφει τέλεια αυτήν την ένταση στο ίδιο άρθρο:
“Υπάρχουν δύο γεγονότα σχετικά με τη διανομή των πρωταρχικών αριθμών από τα οποία ελπίζω να σας πείσω τόσο συντριπτικά που θα χαραχθούν μόνιμα στις καρδιές σας. Το πρώτο είναι ότι, παρά τον απλό ορισμό και το ρόλο τους ως δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών, οι πρωταρχικοί αριθμοί … μεγαλώνουν σαν ζιζάνια μεταξύ των φυσικών αριθμών, φαίνεται ότι δεν υπακούουν σε κανέναν άλλο νόμο από αυτόν της τύχης, και κανείς δεν μπορεί να προβλέψει πού θα βγει ο επόμενος. Το δεύτερο γεγονός είναι ακόμη πιο εκπληκτικό, γιατί δηλώνει ακριβώς το αντίθετο : ότι οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζουν εκπληκτική κανονικότητα, ότι υπάρχουν νόμοι που διέπουν τη συμπεριφορά τους και ότι υπακούουν σε αυτούς τους νόμους με σχεδόν στρατιωτική ακρίβεια.»
Ας κρατήσουμε αυτή την πρώτη ισοκατανομή. Στην πορεία της ανάλυσης θα βρούμε πολλές και «έξυπνες» ιδιότητες των φυσικών αριθμών που δημιουργούν συνεχώς μικρές ,μεγάλες, άπειρες περιοδικότητες (κανονικότητες) που οφείλονται, επιβάλλονται από την βασική ιδιότητα των φυσικών αριθμών αυτή της αναλογίας.
Τα μοτίβα των πρώτων αριθμών υπάρχουν αναλύονται στην ενότητα αυτή.
Τα μοτίβα κατανομής τους στις επόμενες δημοσιεύσεις μου , αποτελούν την συνέχεια των μοτίβων που παρουσιάζονται εδώ και μας δίνουν την πληροφορία που χρειαζόμαστε να πάμε στην ουσία των πρώτων αριθμών αυτό της αναλογικής τους κατανομής δηλαδή .
«Στον περιοδικό αναλογικό πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών».
Το άπειρο σύμπαν των πρώτων αριθμών είναι μια ισχυρότατη τέλεια δομή αναλογικών μοτίβων, γεμάτη με περιοδικότητες , κανονικότητες που δεν υπακούουν σε κανένα νόμο τυχαιότητας, αλλά στους νόμους μόνο της αναλογίας. Είναι ένα απλό περιοδικό μοτίβο που συνεχώς μεταβάλλεται και από απλό γίνεται περίπλοκο και στο τέλος πολύπλοκο χαοτικό , όχι με την έννοια απρόβλεπτο, τυχαίο, ακατανόητο αλλά δυσνόητο λόγω της πολυπλοκότητας του.
Μεγάλο μοτίβο πρώτων αριθμών
Μια ανεξάντλητη πηγή πληροφοριών σχετικά με την δομή των πρώτων αριθμών.
Εδώ η αρχή του μεγάλου μοτίβου των πρώτων αριθμών απαλλαγμένο από τις πολλές πληροφορίες που περιέχει , προκημένου να αποκτήσουμε μια ξεκάθαρη εικόνα του μοτίβου. Περιέχεται μια πληροφορία που αναλύθηκε πριν, με λευκό φόντο οι αριθμοί 9,25 που είναι τα τετράγωνα των πρώτων αριθμών 3,5. Όταν θα έρθει η ώρα θα αναλυθούν διεξοδικά γιατί αποτελούν δομικό στοιχείο στον πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών.
Τώρα στην αρχή των δημοσιεύσεων μου επιμένω ίσως περισσότερο σε λεπτομέρεις που μπορεί να γίνονται κουραστικές , αλλά πρέπει να γίνει κατανοητή η δομή των πρώτων αριθμών. Αυτά τα απλά στην αρχή μοτίβα, σχέσεις,περιοδικότητες μετασχηματίζονται σιγά σιγά σε περίπλοκα και στο τέλος σε πολύπλοκα και σχεδόν χαοτικά μοτίβα .
Ας συνθέσουμε ένα πιο πλήρες μεγάλο μοτίβο πρώτων αριθμών.
Με πράσινο χρώμα που τελειώνει το μοτίβο κάθε πρώτου αριθμού. Τονίζεται χρωματικά για να διακρίνεται εύκολα.
Στα διπλάσια μόνο μοτίβα (μπλε χρώμα) των πρώτων αριθμών αριθμούμε τις θέσεις μόνο με τους μονούς αριθμούς. Π.χ στο μοτίβο του 3 εμφανίζονται οι οι μονοί 1,3 στο μοτίβο του 5 (1,3,5).
Με κίτρινο χρώμα οι ζυγοί αριθμοί του οριζόντιου άξονα. Στη στήλη κάθε ζυγού αριθμού π.χ στον 8 από την προηγούμενη αρίθμηση υπάρχουν οι αριθμοί 1,3 οι οποίοι αντιστοιχούν σε συγκεκριμμένους πρώτους αριθμούς του κατακόρυφοτ άξονα ήτοι εδώ 7,5 (πράσινο χρώμα). Αυτές οι συζυγίες (7+1=8 , 5+3=8 ) αποτελούν και τις λύσεις της εικασίας Γκόλτνμπαχ για τον κάθε ζυγό αριθμό.
Αναλυτικά τώρα σε μεγαλύτερο μέγεθος μοτίβο με περισσότερες πληροφορίες κάτω.
Μπορούμε στο μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών να προσθέσουμε και άλλες πληροφορίες . Αν στην μεγάλη επιφάνεια με μπλε χρώμα που σχηματίζεται στο πάνω μέρος του σχήματος που είναι στην ουσία τα ζυγά μοτίβα (πολλαπλάσια) των πρώτων αριθμών ( 2χ3,2χ5,2χ7) που ακολουθούν τα αρχικά (ροζ) μονά μοτίβα (1χ3,1χ5,1χ7) γράψουμε τους μονούς αριθμούς του κάθε μοτίβου (για το μοτίβο του 5 τους μονούς αριθμούς 1,3,5) τότε σχηματίζεται το παρακάτω ενδιαφέρον μοτίβο. Με λευκή επισήμανση στη μπλε επιφάνεια οι σύνθετοι αριθμοι,9,15,κ.λ.π, όλοι οι άλλοι με μπλε είναι πρώτοι αριθμοί.
Με κίτρινη επισήμανση οι ζυγοί αριθμοί του οριζόντιου άξονα. Αν προσθέσουμε και την αντιστοιχία των πρώτων αριθμών (πράσινο χρώμα) του κατακόρυφου άξονα που αντιστοιχούν στον κάθε ζυγό αριθμό (π.χ οι 18-20 ζυγοί αριθμοί κίτρινο χρώμα αντιστοιχούν με τους πρώτους αριθμούς (κόκκινη επισήμανση 19,17,13,11) του κατακόρυφου άξονα) έχουμε τις συζυγίες (μονός+μονός = ζυγός) τα ζεύγη των λύσεων κάθε ζυγού αριθμού. Αντίστοιχα για τους ζυγούς αριθμούς 28,30.
Ενδιαφέρον έχει πάλι η μεγάλη μπλε επιφάνεια που σχηματίζεται ξεχωριστά στο πάνω μέρος του σχήματος και στο συμμετρικό κάτω .Το ίδιο μοτίβο παρουσιάζεται και στο μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών κάτω ας το δούμε.
Το μεγάλο μοτίβο κάτω συμπυκνωμένο ώστε να διακρίνεται το μέγεθος που αρχίζει να παίρνει η ξεχωριστή αυτή μεγάλη αυτή μπλε επιφάνεια.
Η μεγάλη αυτή μπλε επιφάνεια που δημιουργείται αυτόματα ενώ εξελίσσεται το μεγάλο μοτίβο είναι η «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ».
Βέβαια ένα μεγάλο μοτίβο πρώτων αριθμών για να ονομάζεται έτσι θα πρέπει όπως είπα στην αρχή να μας παρέχει πληροφορίες για όλα τα βασικά τουλάχιστον προβλήματα.
“Ένα θέμα που δημιουργεί πρόβλημα με την παρουσίαση των πινάκων είναι τα μεγάλα αρχεία με μορφή Excel τα οποία δεν μπορούν να αποτυπωθούν σε μια σελίδα Word.”
Στην ενότητα αυτή του μεγάλου μοτίβου των πρώτων αριθμών θα αναφερθούμε συνοπτικά μόνο στα εμφανή μοτίβα που προκύπτουν και όχι στα ειδικά μοτίβα που υπάρχουν και αφορούν στα μεγάλα προβλήματα των πρώτων αριθμών. Οι λόγοι είναι δύο.
- Επειδή όπως προαναφέρθηκε όλα τα προβλήματα των πρώτων αριθμών είναι αλληλο συσχετιζόμενα , λόγω της κοινής παραμέτρου της αναλογίας, θα πρέπει να μεταπηδάμε από το ένα πρόβλημα στο άλλο χωρίς να τελειώνουμε με κάποιο. Αυτό δημιουργεί προφανώς μια μεγάλη πολυπλοκότητα και τα θέματα χάνουν κάθε συνοχή.
- Αυτά τα πρώτα μοτίβα είναι όπως είπαμε μια «σπουδή» κατανόησης της δομής των πρώτων αριθμών. Επειδή απουσιάζει, ακόμα δεν έχει παρουσιαστεί το βασικό δομοστοιχείο των πρώτων αριθμών, θα γίνει ενδελεχής ανάλυση πάλι των μοτίβων που θα είναι και η τελική.
Αν στο μοτίβο των μονών ή ζυγών αριθμών απομονώσουμε το επάνω μέρος του μοτίβου προκύπτει το σχήμα κάτω. Είναι η «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ», με της τiς λύσεις (ζεύγη) της εικασίας.
Η «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ»
Στο μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών.
Το ίδιο σχήμα με την προσθήκη σε κάποιους ζυγούς αριθμούς και των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα που αντιστοιχούν σε αυτούς.
Μόνο ζυγοί αριθμοί στον οριζόντιο άξονα
Με μπλε χρώμα οι αριθμοί που είναι πρώτοι και με λευκό οι σύνθετοι αριθμοί. Ο κάθε ζυγός αριθμός έχει δύο στήλες με τις λύσεις (μονός+μονός=ζυγός) Η μία στήλη (μπλε) που σχηματίζεται από το μοτίβο και αυτή η στήλη αντιστοιχεί σε κάποιους πρώτους αριθμούς του κατακόρυφου άξονα(πράσινη στήλη μόνο πρώτων αριθμών). Π.χ ο αριθμός 52 συντίθεται από δύο στήλες των μονών αριθμών (μπλε πρώτοι και σύνθετοι με λευκό )+ πρώτων αριθμών(πράσινο) που αντιστοιχούν σε αυτούς τους αριθμούς (στήλη αριθμών) και το άθροισμά τους είναι 52. 5+47=52 … 23+29=52.
Σχήμα κάτω απαλλαγμένο από της πληροφορίες μόνο η καμπύλη «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ».Με ζυγούς μόνο αριθμούς.
Η συνολική εικόνα και γνώση που έχουμε ως τώρα για την «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ».
« Αν τοποθετήσουμε στον οριζόντιο άξονα συντεταγμένων της άρτιους ακεραίους και στον κατακόρυφο άξονα της δυνατούς τρόπους που μπορεί να γραφεί ο καθένας της ως άθροισμα δυο πρώτων, προκύπτει η χαρακτηριστική εικόνα «ουράς κομήτη Γκόλντμπαχ» της μπορείτε να δείτε στο παρακάτω γράφημα.
Το 2006 άρχισαν να μελετώνται οι ιδιότητες της καμπύλης της. Είναι αξιοπρόσεκτο το γεγονός ότι oσο μεγαλύτερος ο αριθμός τόσο μεγαλύτερο το πλήθος των πιθανών ζευγών. Ο κανόνας της ισχύει σε γενικές γραμμές , αλλά όχι απόλυτα για κάθε μεμονωμένο αριθμό.» Από την διεθνή βιβλιογραφία.
Δεν θα το χαρακτηρίζαμε και πολύ ενημερωτικό.
Η «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ» είναι ένα περιοδικό μοτίβο γεμάτο μικρά και μεγάλα επαναλαμβανόμενα μοτίβα και άλλες σημαντικές πληροφορίες .
Μια πρώτη σημαντική παρατήρηση. Η «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ οριοθετείται. Το άνω όριο είναι η καμπύλη κατανομής των πρώτων αριθμών. Κάτω όριο το διπλάσιο της καμπύλης κατανομής των πρώτων αριθμών. Το διπλάσιο μοτίβο προφανώς καταλήγει της αντίστοιχους ζυγούς των φυσικών αριθμών, κάτω τελευταία σειρά στο σχήμα.
Η οριοθέτηση της επιφάνειας της «ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ» είναι μεταξύ « της συνάρτησης πρωταρχικής μέτρησης π (x) και του διπλασίου της»
«Η συνάρτηση πρωταρχικής μέτρησης π (x), που εισήγαγε ο Gauss, κάνει ακριβώς αυτό, δίνει τον αριθμό των πρώτων μικρότερο ή ίσο με έναν δεδομένο πραγματικό αριθμό. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει γνωστός τύπος για την εύρεση των πρώτων, ο πρωταρχικός τύπος μέτρησης είναι γνωστός σε εμάς μόνο ως διάγραμμα, ή η συνάρτηση βημάτων αυξάνεται κατά 1 όποτε το χ είναι πρωταρχικό. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τη συνάρτηση έως x = 200.»
Η «ουρά του κομήτη Γκόλντμπαχ» σε όλη την άπειρη έκτασή της είναι ένα μεγάλο περιοδικό μοτίβο. Σε οποιοδήποτε σημείο (μέγεθος συνεχόμενων ζυγών αριθμών) υπάρχει το βασικό μοτίβο που θα αναλύσουμε παρακάτω. Υπάρχουν βέβαια τα ειδικά μοτίβα του μεγάλου μοτίβου των πρώτων αριθμών και αφορούν την «εικασία Γκόλντμπαχ», όπως και οι ειδικές αρμονικές σχέσεις των αριθμών που εξηγούν την εικασία. Επειδή όπως είπαμε τα θέματα είναι αλληλοσχετιζόμενα αυτά θα αναπτυχθούν σε ξεχωριστή δημοσίευση που θα αφορά την απόδειξη της εικασίας Γκόλντμπαχ.
Αν πάρουμε ένα μικρό δείγμα λίγων συνεχόμενων αριθμών που έχουν αρκετές λύσεις (ζεύγη λύσεων) ,μέρος της ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ που σχηματίζει στην εξέλιξή το μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών, π.χ τους ζυγούς αριθμούς από το 300 έως 340. Θα διαπιστώσουμε ότι αρχίζει να διαμορφώνεται το βασικό μοτίβο των τριών κατηγοριών που ανήκουν όλοι οι ζυγοί αριθμοί και βρίσκεται σε όλο το άπειρο σύνολο των ζυγών αριθμών. Σχήμα κάτω.
ΜΟΤΙΒΑ ΕΙΚΑΣΙΑΣ ΓΚΟΛΝΤΜΠΑΧ
Αν σχηματοποιήσουμε και μεταφέρουμε τα δεδομένα από τα παραπάνω σχήματα τότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας.
- Οι μπλε στήλες το σύνολο των λύσεων των ζυγών αριθμών.(μέσος όρος 28 λύσεις)
- Οι κίτρινες στήλες με αυξημένο ποσοστό λύσεων = με το άθροισμα των δύο άλλων πράσινο και ροζ.(μέσος όρος)
- Με πράσινο και ροζ οι στήλες των πράσινων και ροζ ζυγών αριθμών με τις λύσεις της εικασίας , που οι λύσεις των τείνουν στην ισότητα και το άθροισμά τους τείνει στην ισότητα με τις λύσεις των κίτρινων ζυγών αριθμών σε αυτό το μέγεθος αριθμών σύμφωνα με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Αυτή είναι η εμφανής διαπίστωση που προκύπτει από το μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών και το μοτίβο της ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ που αυτόματα δημιουργεί, σε αυτό το μέγεθος αριθμών η κατανομή των πρώτων αριθμών.
- Τα υπόλοιπα ειδικά μοτίβα, σχέσεις αριθμών, οι διαφοροποιήσεις που δημιουργούνται σε αυτό το βασικό μοτίβο από τον ένα ζυγό στον άλλο ζυγό αριθμό χωρίς όμως να ανατρέπεται το αρχικό αυτό βασικό μοτίβο, αλλά συνεχώς μεταβάλλεται είναι βασικά θέματα της «εικασίας Γκόλντμπαχ» και όχι της ενότητας των μοτίβων των πρώτων αριθμών.
«Το 2006 άρχισαν να μελετώνται οι ιδιότητες της καμπύλης της. Είναι αξιοπρόσεκτο το γεγονός ότι oσο μεγαλύτερος ο αριθμός τόσο μεγαλύτερο το πλήθος των πιθανών ζευγών. Ο κανόνας της ισχύει σε γενικές γραμμές , αλλά όχι απόλυτα για κάθε μεμονωμένο αριθμό.»
Ένα ενδιαφέρον ερώτημα που θα έπρεπε ήδη να έχει τεθεί εδώ και πολύ καιρό αφού είναι γνωστή η εξέλιξη της ουράς, ποια ιδιότητα των φυσικών αριθμών είναι υπεύθυνη για αυτήν την σχεδόν βεβαιότητα της εικασίας , όχι βέβαια κάποια τυχαιότητα , αλλά προφανώς κάποια κανονικότητα.
Στην πρώτη σειρά οι συνεχόμενοι ζυγοί αριθμοί 300 έως το 340.
Στην δεύτερη σειρά (μπλε) το σύνολο των λύσεων (μονός+μονός=ζυγός αριθμός) μέσος όρος 28 λύσεων. Οι ζυγοί αριθμοί είναι κοντά και έχουν τον ίδιο πλήθος λύσεων (ζευγών) μεταξύ τους.
Στην τρίτη σειρά (κίτρινο, πράσινο ,ροζ ) οι τρεις βασικές κατηγορίες των ζυγών αριθμών που ανήκουν (ισοκατανέμονται 1/3) όλοι οι ζυγοί αριθμοί. Με το αντίστοιχο χρώμα και οι λύσεις της εικασίας Γκόλντμπαχ που έχει η κάθε κατηγορία ζυγών αριθμών.
Στον πίνακα η βασική δομή μοτίβο της ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ.
Οι μπλε στήλες το σύνολο των λύσεων συζυγιών κάθε ζυγού αριθμού.
Οι κίτρινες,πράσινες,ροζ στήλες το σύνολο των λύσεων της εικασίας Γκόλντμπαχ για κάθε αριθμό. Αυτό είναι το βασικό μοτίβο της εικασίας που επαναλαμβάνεται απείρως.
- Επειδή και η εικασία Γκόλνμπαχ είναι πρόβλημα κατανομής των πρώτων αριθμών, σχηματίζεται από την αρχή των ζυγών αριθμών ,ένα συγκεκριμένο μοτίβο συζυγιών (μονός+μονός=ζυγός) που επαναλαμβάνεται έως το άπειρο . Όλες αυτές οι ιδιότητες αναλυτικά στην ενότητα της «εικασίας Γκόλντμπαχ».
- Το σύνολο των λύσεων των κίτρινων αριθμών «τείνουν στην ισότητα» με το άθροισμα των λύσεων των δύο άλλων (πράσινο , ροζ ) κατηγοριών των ζυγών αριθμών. Κίτρινοι=Πράσινοι+Ροζ ζυγοί αριθμοί. Αυτό το μοτίβο θα επαναλαμβάνεται συνεχώς έως το άπειρο των φυσικών αριθμών. Θα αποτελεί το βασικό μοτίβο σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο μοτίβο ζυγών αριθμών. Αυτή η τάση προς την ισότητα εμφανίζεται από την αρχή των ζυγών αριθμών , θα συνεχίσει να εμφανίζεται διαρκώς, αλλά η γενική τάση θα αλλάζει συνεχώς μέχρι να φτάσει στο ανώτατο όριο που δεν θα μπορεί να το υπερβεί.
- Οι πράσινοι ζυγοί αριθμοί «τείνουν στην ισότητα λύσεων» με τους ροζ ζυγούς αριθμούς. Και αυτή η τάση προς την ισότητα θα υπάρχει συνεχώς σε όλο το άπειρο πλήθος των ζυγών αριθμών. Όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί το ποσοστό των λύσεων θα μειώνεται αλλά ο αριθμός των λύσεων θα αυξάνεται . Όπως ακριβώς η κατανομή των πρώτων αριθμών.
Μέρος του μοτίβου της «ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ» για τους συνεχόμενους ζυγούς αριθμούς από 300 έως 340.
Η κάθε στήλη αντιστοιχεί σε ένα ζυγό αριθμό με μπλε χρώμα οι αριθμοί που είναι πρώτοι και με λευκό οι σύνθετοι αριθμοί. Αν την κάθε στήλη την αντιστοιχίσουμε με την στήλη (πράσινη) των πρώτων αριθμών τότε δημιουργούμε τις λύσεις της εικασίας Γκόλντμπαχ , εκεί όπου έχουμε σύμπτωση ενός μπλε (πρώτου αριθμού) και ενός πράσινου (πρώτου αριθμού) όλες αυτές οι συζυγίες είναι τα ζεύγη , οι λύσεις της εικασίας Γκόντμπαχ για τον κάθε ζυγό αριθμό.
Στην δεύτερη σειρά επάνω του σύνολο των λύσεων και από κάτω οι λύσεις της εικασίας, χωρισμένες στις τρεις κατηγορίες ζυγών αριθμών κίτρινο, πράσινο, και ροζ. Βέβαια δεν είναι ο ακριβής χωρισμός των ζυγών αριθμών σε χρώματα, αλλά υποκρύπτουν την πραγματική, αριθμητική σχέση μεταξύ των ζυγών αριθμών. Κάτω ο ίδιος πίνακας με κόκκινη επισήμανση για να ταυτίζεται με το αρχικό σχήμα της «ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ».
Το ίδιο μοτίβο με κόκκινο οι λύσεις της εικασίας Γκόλνμπαχ.
Το μοτίβο στις εσχατιές του απείρου σύμπαντος των ζυγών αριθμών θα έχει διαμορφωθεί και θα φτάσει τα όρια του που δεν θα μπορεί να ξεπεράσει. Αυτοί οι τεράστιοι –τεράστιοι ζυγοί αριθμοί θα έχουν την οριακή τους κατάσταση που θα είναι.
Α). Σε αυτό το μέγεθος αριθμών θα υπάρχουν και ελάχιστοι, αλλά άπειροι ζυγοί αριθμοί που θα παρουσιάζουν τις οριακές καταστάσεις, είναι συγκεκριμένοι και γνωστοί .
Β). Αυτοί οι ελάχιστοι ζυγοί αριθμοί οι μεν κίτρινοι μειώνονται (σαν ποσοστό) λύσεων, αυξάνονται σε πλήθος (ζευγών) λύσεων Γκόλντμπαχ , αλλά δεν θα πέσουν κάτω από το οριακό ποσοστό τους , όπως και δεν θα μπορούν να αυξήσουν το άνω όριο τους πάνω από ένα ποσοστό.
Σε αυτούς τους ελάχιστους ζυγούς αριθμούς, οι πράσινοι και ροζ ζυγοί αριθμοί, αυξάνουν το ποσοστό τους σε λύσεις Γκόλτμπαχ στο ανώτερο όριό τους, θα παραμένουν όμως σε σχέση ισότητας λύσεων μεταξύ τους , αλλά ταυτόχρονα το άθροισμά τους θα προσεγγίζουν και το ελάχιστο ποσοστό των κίτρινων αριθμών χωρίς να τα φτάνουν καμιά φορά. Δηλαδή θα έχουμε στο ίδιο τεράστιο μέγεθος ζυγών αριθμών κάποιους ελάχιστους ζυγούς αριθμούς που θα αγγίζουν το άνω όριο λύσεων και οι περισσότεροι υπόλοιποι ζυγοί αριθμοί θα προσεγγίζουν τα ελάχιστα κάτω όρια .
Από το αρχικό μοτίβο στους αριθμούς 300-340 που οι κίτρινοι ζυγοί αριθμοί έχουν σύνολο λύσεων (κίτρινοι≈πράσινοι+ροζ) αυξημένο ποσοστό π.χ ο αριθμός 306 έχει σε 28 συνολικές συζυγίες μονών αριθμών ποσοστό λύσεων Γκόλντμπαχ το μικρότερο από τους κίτρινους αριθμούς ,αλλά πάντα περισσότερους από πράσινους και ροζ. Ήτοι 28/15=53,57%. Αυτό το ποσοστό στους κίτρινους αριθμούς στο τελικό μοτίβο θα διαμορφωθεί στο 33,33% σαν το μεγαλύτερο άνω όριο. Η σχεδόν ισότητα θα έχει σαν άνω όριο (κίτρινοι≈ 33,33% ≈16,66%+16,66%%≈πράσινοι+ροζ). Το κάτω όριο που μας ενδιαφέρει στην εικασία Γκόλντμπαχ θα μειώνεται συνεχώς σαν ποσοστό , θα αυξάνεται σαν πλήθος λύσεων αλλά δεν θα γίνει καμιά φορά μηδέν. Θα ακολουθεί την κατανομή των πρώτων αριθμών που μειώνονται χωρίς να τελειώνουν καμιά φορά λόγω της απειρίας τους.
Σε αυτό το τεράστιο μέγεθος ζυγών αριθμών θα συνυπάρχουν όλα τα μοτίβα που συναντάμε από την αρχή της δημιουργίας της ουράς του κομήτη Γκόλντμπαχ , αλλά λόγω της κατανομής των πρώτων αριθμών σε αυτά τα τεράστια μεγέθη που το ποσοστό ύπαρξης πρώτων αριθμών θα είναι ελάχιστο π.χ 0,005% θα έχουν διαμορφωθεί «σχεδόν» όλες οι πιθανές τάσεις που «τείνουν τα μοτίβα του σύμπαντος» των φυσικών αριθμών
Η εικασία Γκόλντμπαχ είναι ουσιαστικά μια υπόθεση κατανομής των πρώτων αριθμών. Όπως στους πρώτους αριθμούς η κατανομή των οποίων είναι υπόθεση αναλογίας έτσι και στην εικασία Γκόλντμπαχ η αναλογία φροντίζει να υπάρχουν στο άπειρο λύσεις της εικασίας. Ο πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών ισχύει και για την εικασία Γκόλντμπαχ “μετράει τις ελάχιστες λύσεις” αλλά με ένα αρκούντως πολύπλοκο τρόπο.
Αναλυτικά βέβαια το μεγάλο πρόβλημα της «εικασίας Γκόλντμπαχ» που είναι αρκούντως πολύπλοκο ,το πολυπλοκότερο στο θεώρημα των πρώτων αριθμών θα δημοσιευθεί τελευταίο. Καθώς η απόδειξή του δεν προκύπτει από όλες τις άλλες θεωρίες , υποθέσεις, έχει και αποκλειστικά δικές της σχέσεις και ιδιότητες.
Με την ανάλυση των βασικών μοτίβων των πρώτων αριθμών κλείνει αυτή η βασική ενότητα . Όταν θα χρειαστούν επί πλέον πληροφορίες θα επανέλθω.
Η βασική αρχική ενημέρωση για τους πρώτους αριθμούς ολοκληρώθηκε.
Τώρα αρχίζει η ουσία και η τεκμηρίωση του σύμπαντος των πρώτων αριθμών. Όπως ανάφερα στις πρώτες μου δημοσιεύσεις θα ήθελα να «κρύψω» για το τέλος το βασικό θέμα των πρώτων αριθμών αυτό της κατανομής τους. Αλλά αυτό δεν γίνεται γιατί η κατανομή τους εξηγεί όλα τα βασικά προβλήματα του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, Επομένως θα δημοσιευθεί πρώτα η κατανομή των πρώτων αριθμών, για να μπορούν να παρουσιαστούν όλα τα άλλα βασικά προβλήματα.
Στις επόμενες δημοσιεύσεις σταδιακά το «Ιερό Δισκοπότηρο» των πρώτων αριθμών.
Ο πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών.
