Prime numbers: The big pattern of prime numbers:

ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΟΤΙΒΑ

PART 1

    ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ:Η αρχή ενός άπειρου περιοδικού μοτίβου.

“Η γενική υπόθεση έως σήμερα σχετικά με την ύπαρξη ή όχι μοτίβων στους πρώτους αριθμούς.

Ένα από τα βασικά προβλήματα των πρώτων αριθμών είναι ότι έως τώρα δεν έχει βρεθεί ένα μοτίβο κατανομής με αποτέλεσμα να κάνουν την υπόθεση ότι δεν υπάρχει μοτίβο.   «Η μη ύπαρξη ενός μοτίβου κατανομής τους, η φαινομενική ανισορροπία κατανομής και εμφάνισής τόσο των Π.Α (πρώτων αριθμών) όσο και των διδύμων (ΔΔ) δημιουργεί την υπόθεση ως τώρα, ότι η ακολουθία των ΠΑ θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια: Οι πρώτοι αριθμοί «συμπεριφέρονται» ως τυχαίοι αριθμοί.»

« Οι προσπάθειες μοντελοποίησης των πρώτων αριθμών με αποδεδειγμένο το γεγονός ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος το παραπάνω ερώτημα μοιάζει σαν ένα απροσπέλαστο εμπόδιο.»

    Εννοιολογικά  η λέξη μοτίβο :  

1.επαναλαμβανόμενο «δομοστοιχείο».  2.Γενικό πλάνο που συνήθως αποτελείται από γεωμετρικά , αριθμητικά συναφή μέρη.» 

Εξ ορισμού:

«Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.  Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων.» Βικιπαίδεια. )”

ΕΝΟΤΗΤΑ 1

Το σύνολο των φυσικών αριθμών μέρος των οποίων είναι και οι πρώτοι αριθμοί αποτελεί ένα μοτίβο. ( άπειρο , κβαντικό, χαοτικό, μερικοί από τους πολλούς χαρακτηρισμούς που ορίζουν την πολυπλοκότητα του σύμπαντος των πρώτων αριθμών) και επί πλέον «περιοδικό και αναλογικό» .

Λογικά όλα τα προβλήματα που αφορούν τους πρώτους αριθμούς θα πρέπει να μπορούν να αποδειχτούν μέσα από σχέσεις αναλογίας των φυσικών αριθμών των οποίων, μικρό, ελάχιστο, απειροελάχιστο, μέρος είναι και οι πρώτοι αριθμοί .

Η «υπόθεση Ρίμαν» είναι μια εξαιρετική μέθοδος «προσέγγισης» της αναλογίας (συντελεστής μέσου όρου κατανομής) στην κατανομή των πρώτων αριθμών.

Η «εικασία Γκόλντμπαχ» αφού είναι γνωστό ότι οι άπειροι πρώτοι αριθμοί τείνουν σαν ποσοστό στο μηδέν 0,001% σε σχέση με τους σύνθετους που το ποσοστό τους τείνει στο 99,99% , όσο μεγαλώνουν οι ζυγοί αριθμοί τόσο αυξάνονται τα ζεύγη των λύσεων της εικασίας. Προφανώς κάποια αναλογική σχέση των αριθμών υπάρχει που δεν έχουμε βρεί ακόμη, ώστε σε ένα άπειρο σύνολο σύνθετων αριθμών 99,999% να μπορούν να υπάρχουν συνεχώς αυξανόμενα ζεύγη μεταξύ των άπειρων μεν αλλά ελάχιστου 0,000…1% σχεδόν μηδενικού ποσοστού των πρώτων αριθμών.

Αφού υπάρχει ο προσεγγιστικός πίνακας κατανομής του Ρίμαν , σε ένα αναλογικό σύνολο φυσικών ακέραιων αριθμών θα πρέπει να υπάρχει και ο αντίστοιχος αναλογικός άρα περιοδικός πίνακας κατανομής. Επομένως στον πραγματικό χώρο των φυσικών αριθμών , οι μη τετριμμένες ρίζες (άρρητοι αριθμοί) του Ρίμαν , θα πρέπει να είναι αναλογικοί (ρητοί αριθμοί….).

Και τα μοτίβα που παρουσιάζονται σήμερα είναι ένα επαναλαμβανόμενο δομοστοιχείο αναλογίας μεταξύ των φυσικών αριθμών και των πρώτων.

Αφού πρόκειται στην ουσία για μια αναζήτηση των σχέσεων αναλογίας, τα προβλήματα των πρώτων αριθμών θα πρέπει να είναι αλληλοσχετιζόμενα. Εξηγώντας την λύση στο ένα περιέχεις και ένα μέρος για την απόδειξη σε κάποιο ή κάποια άλλα. Δεν θα μπορείς να «κρυφτείς» και να παρουσιάσεις την απόδειξη στο κάθε πρόβλημα  σαν μια ξεχωριστή ενότητα  θα εμπεριέχει πληροφορίες, αποδείξεις και για τα άλλα προβλήματα. Θα είναι μια αλληλοσχετιζόμενη απόδειξη.

Όταν ορίζουμε ένα μοτίβο σαν το μεγάλο μοτίβο των πρώτων αριθμών θα πρέπει να έχει φανερές ή και συγκαλυμμένες πληροφορίες για όλα προβλήματα των πρώτων αριθμών. Μερικά διατυπώνονται κάτω.

1. Να είναι αυτοτροφοδοτούμενο, δηλαδή να δημιουργείται μόνο του από την επανάληψη ενός απλού αναλογικού μοτίβου αριθμών .
2. Να γεννά (βρίσκει) τους πρώτους αριθμούς.
3. Να δημιουργεί την παραγοντοποίηση των σύνθετων αριθμών.
4. Να μας δίνει πληροφορίες και τα μοτίβα αν υπάρχουν και ισχύει η «εικασία Γκόλντμπαχ».
5. Να μας δίνει πληροφορίες ή και να μας δείχνει αν υπάρχουν, που βρίσκονται στο μοτίβο  οι άπειρες «μη τετριμμένες ρίζες της υπόθεσης Ρίμαν».
6. Να δείχνει πως σχηματίζεται αν υπάρχει ο «περιοδικός πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών» και που αλλάζει τιμές αφού είναι περιοδικός.
7. Να μας δίνει  ή να συνεπάγονται πληροφορίες για όλα τα προβλήματα που αφορούν τους πρώτους αριθμούς.

ΜΟΤΙΒΟ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Δομή του μοτίβου των πρώτων αριθμών

Στον οριζόντιο άξονα όλοι οι φυσικοί αριθμοί 1,2,3,4,5…. Με ροζ χρώμα όλοι οι μονοί αριθμοί και με μπλε όλοι οι ζυγοί αριθμοί.

Στον κατακόρυφο άξονα όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Είναι μια συνεχής επανάληψη του μεγέθους κάθε πρώτου αριθμού.  Τα μονά πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών (1Χ3,3Χ3,5Χ3…1Χ5,3Χ5, κλπ) που μας δίνουν μονούς αριθμούς με ρόζ χρώμα και τα ζυγά πολλαπλάσια τους που μας δίνουν ζυγούς αριθμούς  με μπλε χρώμα (2χ2,4χ2… 2χ3,4χ3… 2χ5,4χ5). Έτσι πέρα από το αριθμητικό μοτίβο έχουμε ταυτόχρονα και το οπτικό, γεωμετρικό μοτίβο.

Στον οριζόντιο άξονα των φυσικών αριθμών όταν το τέλος του μοτίβου ή των μοτίβων των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα κατά την συνεχή επανάληψη τους συμπίπτουν (τελειώνουν) αριθμητικά και (χρωματικά) σε κάποιον αριθμό αυτός ο αριθμός είναι σύνθετος. 4,6,8,9,10. Αν δεν συμπίπτει το τέλος των επαναλαμβανόμενων μοτίβων των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα με κάποιον αριθμό του οριζόντιου άξονα τότε αυτός είναι πρώτος  αριθμός 2,3,5,…11.

Τα μοτίβα των πρώτων αριθμών του κατακόρυφου άξονα κατά τα γνωστά για να προσδιορίσουν αν ένας αριθμός n του οριζόντιου άξονα είναι πρώτος, επαρκούν τα μοτίβα των πρώτων αριθμών έως την √n του κάθε φυσικού αριθμού του οριζόντιου άξονα. Κάθε αριθμός μπορεί να διαιρείται από τον εαυτό του ή από δύο ή περισσότερους αριθμούς των οποίων ο ένας θα είναι μικρότερος της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού αυτού. 3Χ5=15 , √15=3,87. Στο κάτω μέρος του σχήματος το αντίστοιχο συμμετρικό μοτίβο.

Στον κατακόρυφο άξονα οι πρώτοι αριθμοί επαναλαμβάνουν το μοτίβο (ροζ-μπλε) σε όλο το μέγεθος των αριθμών. Έτσι τα μονά τους πολλαπλάσια (ροζ) θα συναντήσουν στον οριζόντιο άξονα κάποιον σύνθετο μονό αριθμό και τα ζυγά (μπλε) κάποιον σύνθετο ζυγό αριθμό. Στο σχήμα στο τέλος κάθε μοτίβου πρώτου αριθμού 3,5,7 του κατακόρυφου άξονα γράφουμε τον αριθμό γιατί , πρώτον μας δίνει αυτόματα την παραγοντοποίηση κάθε αριθμού , δεύτερο προσδιορίζει και το τέλος της επανάληψης του μοτίβου.

Το ίδιο σχήμα απαλλαγμένο από πολλούς αριθμούς.

Ένας αριθμός στον οριζόντιο άξονα είναι πρώτος αριθμός αν μέχρι αυτόν δεν τελειώνει ή δεν συμπίπτει το μοτίβο κανενός αριθμού του κατακόρυφου άξονα.

Δεν χρειάζεται όπως είπαμε να αναζητήσουμε όλα τα μοτίβα του κατακόρυφου άξονα μόνο τα μοτίβα των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι της τετραγωνικής του ρίζας.

Στον σύνθετο αριθμό 9 το μοτίβο του 3 συμπίπτει ενός μονού πολλαπλασίου του 3 (3Χ3) προσδιορίζει την παραγοντοποίηση του 9 αλλά και ότι σε αυτό τον αριθμό καταλήγει και το μοτίβο του αριθμού 3 οπότε είναι σύνθετος. Η αρίθμηση του επαναλαμβανόμενου μοτίβου κάθε πρώτου αριθμού,με τον αντίστοιχο πρώτο αριθμό στο τέλος του μοτίβου, μας δείχνει ότι τελειώνει εκεί το μοτίβο του, άρα ο αριθμός που αντιστοιχεί στον οριζόντιο άξονα δεν είναι πρώτος, αλλά δημιουργεί ταυτόχρονα και την παραγοντοποίηση κάθε σύνθετου αριθμού.

Στον πρώτο αριθμό π.χ 19 δεν τελειώνει το μοτίβο κάποιου άλλου πρώτου αριθμού. Επειδή √19=4,35 άρα χρειαζόμαστε μόνο τα μοτίβα των πρώτων αριθμών που είναι ≤ 4,35.

Δηλαδή για να προσδιορίσουμε τον αριθμό 19 αν είναι πρώτος θέλουμε μόνο το μοτίβο του πρώτου αριθμού 3. Οπτικά το μοτίβο του 3 περνά από τον 19 αλλά δεν τελειώνει εκεί γιατί ο αριθμός 3 βρίσκεται στο τέλος του μοτίβου που είναι ο αριθμός 21. Εκτιμώ πως δεν χρειάζονται  περισσότερα παραδείγματα.

Μηχανικός τρόπος αναγνώρισης αν ένας αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος.

Κάτω σχήμα μοτίβων αποκλειστικά οπτικό χωρίς επισημάνσεις (αριθμούς). Για να προσδιοριστεί αν ένας αριθμός είναι πρώτος  επειδή είναι εντελώς μηχανικός ο τρόπος αναγνώρισης του μοτίβου πρέπει να έχουμε υπόψη. Για τον πρώτο αριθμό 7 π.χ.

Στο σχήμα κάτω αριστερά αν εξετάσουμε στον οριζόντιο άξονα τον αριθμό 7 βλέπουμε ότι στην στήλη του 7 περνά και ένα ακόμα μοτίβο ροζ αυτό του 3. Όπως είναι το σχέδιο τώρα μέχρι τον αριθμό 7, δεν ξέρουμε αν αυτό το ροζ μοτίβο του 3 τελειώνει εκεί άρα ο αριθμός 7 είναι σύνθετος ή συνεχίζει το μοτίβο του και ο αριθμός 7 είναι πρώτος.

Επειδή εδώ δεν χρησιμοποιούμε αριθμούς αλλά μόνο το γεωμετρικό μοτίβο , για να βρούμε οπτικά αν ένας αριθμός (ή μια θέση στους αριθμούς)  είναι πρώτος θα χρειαστούμε να συνδυάσουμε και την αμέσως επόμενη στήλη του επόμενου αριθμού του 8 , σχήμα κάτω δεξιά. Βλέπουμε τώρα πως ο αριθμός 7 είναι πρώτος γιατί δεν τελειώνει κανένα άλλο μοτίβο σε αυτόν. Στο οπτικό γεωμετρικό μοτίβο χρειαζόμαστε δύο στήλες , στο αριθμητικό μόνο μία.

Αν όμως χρησιμοποιήσουμε πάντα και το επόμενο μοτίβο (μονό ή ζυγό) τότε βλέπουμε  πως το μοτίβο του 3 συνεχίζει και τελειώνει στο 9, άρα ο αριθμός 7 είναι πρώτος.

Αυτό σημαίνει πως και μια «μηχανή» μπορεί να διακρίνει ένα απλό γεωμετρικό , αριθμητικό μοτίβο και να βρίσκει ποιος αριθμός είναι πρώτος αριθμός και ποιος είναι σύνθετος.

ΜΕΓΑΛΟ ΜΟΤΙΒΟ  ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Εξηγήσαμε πως δημιουργείται το μεγάλο μοτίβο και πως ξεχωρίζει τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους. Αν συνθέσουμε και τις άλλες πληροφορίες που υπάρχουν στο μοτίβο τότε διακρίνουμε πλήθος πληροφοριών που μας εξηγούν την πολύπλοκη δομή των πρώτων αριθμών.

Αυτοτροφοδοτούμενο μοτίβο πρώτων αριθμών.

1. Για να δημιουργήσουμε το μοτίβο τοποθετούμε στον οριζόντιο άξονα όλους τους φυσικούς αριθμούς και στον κατακόρυφο άξονα μόνο τους πρώτους αριθμούς. Αυτούς τους πρώτους αριθμούς που χρειαζόμαστε τους βρίσκει πρώτα το μοτίβο στον οριζόντιο άξονα των φυσικών αριθμών και μετά τους τοποθετεί στον κατακόρυφο άξονα για να βρούμε τους επόμενους μετά τους επόμενους κ.λ.π. Δηλαδή πρώτα βρίσκει τους πρώτους αριθμούς που χρειάζεται ώστε μετά να τους προσθέσει σε ένα (εκθετικά αυξανόμενο) νέο μοτίβο .
2. Βρίσκει τους πρώτους αριθμούς.
3. Αν προσθέσουμε στο τέλος των επαναλαμβανόμενων μικρών μοτίβων των πρώτων αριθμών τον αριθμός τους  τότε η επανάληψη τους δημιουργεί και την ταυτόχρονη παραγοντοποίηση όλων των αριθμών μονών – ζυγών.
4. Αν περιορίσουμε το μοτίβο στους 4 πρώτους αριθμούς.(2,3,5,7) στον κατακόρυφο άξονα χωρίς να γνωρίζουμε ότι είναι πρώτοι αριθμοί. Με βάση τα παραπάνω. Το μοτίβο του 2 συμπίπτει με όλους τους ζυγούς αριθμούς οπότε όλοι οι ζυγοί είναι σύνθετοι. Δεν τους τοποθετούμε στον κατακόρυφο άξονα των πρώτων αριθμών. Μόνο το μοτίβο του 2 μας δείχνει όλους τους πρώτους αριθμούς 1-8. Δεν συμπίπτει το μοτίβο του με κανένα μονό αριθμό.

 Για τον αριθμό 9=3Χ3 δεν αρκεί μόνο το μοτίβο του 2 αλλά και το μοτίβο του 3 που συμπίπτει με το 9 , και που βεβαιώνει πως είναι σύνθετος αριθμός. Το μοτίβο αυτών των δύο πρώτων 2,3 μας βρίσκει όλους τους πρώτους έως και τον αριθμό 24. Στον αριθμό 25=5Χ5 πρέπει να προσθέσουμε και το μοτίβο του 5 που μας δείχνει ότι είναι σύνθετος. Από το τετράγωνο του πρώτου αριθμού 5Χ5=25 έως το τετράγωνο του επόμενου μεγαλύτερου πρώτου αριθμού 7Χ7=49 , όλοι οι υπάρχοντες πρώτοι αριθμοί βρίσκονται από το μοτίβο των 2,3,5. Στο σχήμα με λευκό φόντο τα σημεία 9,25,49 που η κατανομή των πρώτων αριθμών χρειάζεται ένα νέο μοτίβο που προστίθεται στα προηγούμενα για την εύρεση των πρώτων αριθμών.

Έτσι το αυτοτροφοδοτούμενο μοτίβο εύρεσης των πρώτων αριθμών κ.λ.π γίνεται εκθετικό ως προς την εύρεση των πρώτων αριθμών.

1-25

1-49

Άρα στο οπτικό και αριθμητικό μοτίβο συμπεραίνουμε πως «από το τετράγωνο κάθε πρώτου αριθμού έως το τετράγωνο του επόμενου μεγαλύτερου πρώτου αριθμού» αρκούν μόνο τα μοτίβα των μικρότερων πρώτων αριθμών για να προσδιορίσουν την κατανομή όλων των πρώτων αριθμών έως το τετράγωνο του μεγαλύτερου πρώτου αριθμού. Ο τρόπος να βρούμε τους πρώτους αριθμούς έως κάποιον αριθμό είναι  συνάρτηση των προστιθεμένων νέων μοτίβων των πρώτων αριθμών.

Έτσι για μεγέθη αριθμών από – έως:

1-9: Το μοτίβο του 2. Βρίσκει τους 4 πρώτους αριθμούς (2,3,5,7).

1-25: Το μοτίβο 2,3 βρίσκει  9 ΠΑ (2,3,5,7,11,13,17,19,23)  .

1-49: Το μοτίβο 2,3,5 βρίσκει  15 ΠΑ.

1-121 : Το μοτίβο 2,3,5,7  βρίσκει  30 ΠΑ. Περιοχές με λευκή επισήμανση (9,25,49). Τα μοτίβα των 4 πρώτων αριθμών (2,3,5,7)  βρίσκουν τους 30 πρώτους αριθμούς , από το 1- 121(11Χ11).

«Τι συμβαίνει στο τετράγωνο κάθε πρώτου αριθμού και τα συνεχώς προστιθέμενα νέα μοτίβα βρίσκουν την νέα κατανομή των πρώτων αριθμών μέχρι το τετράγωνο του επόμενου μεγαλύτερου πρώτου αριθμού. Τα τετράγωνα των άπειρων πρώτων αριθμών είναι και αυτά «άπειρα». Σε κάθε ένα από τα «άπειρα» αυτά σημεία έχουμε μια νέα κατανομή των πρώτων αριθμών.»

Μοτίβο πρώτων αριθμών σε δυαδική μορφή

Και στο επόμενο σχέδιο το ίδιο μοτίβο σε δυαδική μορφή (0,1). Κάθε πρώτος αριθμός π.χ 11 του οριζόντιου άξονα μέχρι να συναντήσει το μοτίβου του, του κατακόρυφου άξονα δεν έχει στην στήλη του σύμπτωση με άλλο μοτίβο (μοτίβο είναι η ύπαρξη του αριθμού 1) ή (το μοτίβο ενός πρώτου αριθμού μικρότερου της τετραγωνικής του ρίζας). Ο αριθμός 9 έχει ταυτόχρονη σύμπτωση μοτίβου με την επανάληψη του 3 , άρα σύνθετος. Όλοι οι ζυγοί αριθμοί του οριζόντιου άξονα έχουν σύμπτωση με κάποιο πολλαπλάσιο του 2 ήτοι όλοι σύνθετοι αριθμοί.

Τέλος της ενότητας 1.

Επόμενη δημοσίευση πολύ σύντομα με την συνέχεια των μοτίβων των πρώτων αριθμών.