ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ : ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ
«Το δεύτερο μέρος περιγράφηκε από τον Ρίμαν στον πληθυντικό ως «οι περιοδικοί όροι». Όπου υπεισέρχονται οι ρίζες της συνάρτησης ζ. Εδώ βρίσκεται η ουσία του προβλήματος , εδώ κρύβονται όλα τα ενδιαφέροντα. – Για να υπολογίσουμε αυτόν τον δευτερεύοντα όρο πρέπει να αθροίσουμε για κάθε διαφορετική μη τετριμμένη ρίζα το αντίστοιχο Li(x). σελ 451. JOHN DERBYSHIRE – ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ
ΡΙΜΑΝ ΥΠΟΘΕΣΗ
Μια συνοπτική παρουσίαση της υπόθεσης Ρίμαν όπως παρουσιάζεται στη διεθνή βιβλιογραφία.
Έχοντας αποκτήσει την αναλυτική εκδοχή του τύπου γινομένου του Euler, ο Riemann συνέχισε να διατυπώνει το δικό του θεώρημα πρώτων αριθμών. Η ρητή μορφή που έδωσε ήταν:
«Θεώρημα πρώτων αριθμών του Riemann» που μαντεύει τον αριθμό των πρώτων αριθμών κάτω από ένα δεδομένο μέγεθος x
Αυτή είναι η ρητή φόρμουλα του Riemann. Είναι μια βελτίωση στο θεώρημα των πρώτων αριθμών, μια πιο ακριβής εκτίμηση του πόσοι πρώτοι υπάρχουν μέχρι και ένας αριθμός x . Ο τύπος έχει τέσσερις όρους:
- Ο πρώτος όρος, ή “αρχικός όρος” είναι το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Li( x ), το οποίο είναι η καλύτερη εκτίμηση της πρώτης συνάρτησης μέτρησης π( x ) από το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Είναι μακράν ο μεγαλύτερος όρος, και όπως είδαμε νωρίτερα, μια υπερεκτίμηση του πόσοι πρώτοι υπάρχουν μέχρι μια δεδομένη τιμή x .
- Ο δεύτερος όρος, ή «περιοδικός όρος» είναι το άθροισμα του λογαριθμικού ολοκληρώματος του x στην ισχύ ρ , αθροιζόμενο πάνω από ρ , που είναι τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. Είναι ο όρος που προσαρμόζει την υπερεκτίμηση του βασικού όρου.
- Η τρίτη είναι η σταθερά -log(2) = -0,6993147…
- Ο τέταρτος και τελευταίος όρος είναι ένα ολοκλήρωμα που είναι μηδέν για x < 2 επειδή δεν υπάρχουν πρώτοι μικρότεροι από 2. Έχει τη μέγιστη τιμή του στο 2, όταν το ολοκλήρωμά του ισούται περίπου με 0,1400101….
α) Οι δύο τελευταίοι όροι είναι απειροελάχιστοι ως προς τη συμβολή τους στην τιμή της συνάρτησης καθώς το x γίνεται μεγάλο. Οι κύριοι «συνεισφέροντες» για μεγάλους αριθμούς είναι η λογαριθμική ολοκληρωτική συνάρτηση και το περιοδικό άθροισμα.
β) «Το δεύτερο μέρος περιγράφηκε από τον Ρίμαν στον πληθυντικό ως «οι περιοδικοί όροι». Όπου υπεισέρχονται οι ρίζες της συνάρτησης ζ. Εδώ βρίσκεται η ουσία του προβλήματος , εδώ κρύβονται όλα ενδιαφέροντα. – Για να υπολογίσουμε αυτόν τον δευτερεύοντα όρο πρέπει να αθροίσουμε για κάθε διαφορετική μη τετριμμένη ρίζα το αντίστοιχο Li(x). σελ 451. JOHN DERBYSHIRE – ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ
Οι υπογραμμίσεις από τον συγγραφέα ,
Από την διεθνή βιβλιογραφία: Προτάσεις που διατυπώνει η διεθνής μαθηματική κοινότητα και μπορεί να αποτελούν μια πιθανή απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν.
Ερώτημα:Πόσο κατανοητή είναι η υπόθεση Riemann σε επίπεδο ειδικών; Ποιες τεχνικές πτυχές εξακολουθούν να διαφεύγουν από μια βαθιά κατανόηση και, επομένως, εμποδίζουν την εξεύρεση αποδείξεων για την υπόθεση Riemann; Senia Sheydvasser : θεωρητικός αριθμών :Quora• Απαντήθηκε στις 9 Ιουνίου 2017
- Κατανοούμε τέλεια τη δήλωση της υπόθεσης Riemann. Έχουμε ακόμη και κάθε είδους γενικεύσεις της RH που πιστεύουμε ότι πρέπει να είναι αληθινές. Μπορούμε να αποδείξουμε ορισμένα ανάλογα της RH σε διαφορετικές ρυθμίσεις.Όσο για το γιατί δεν μπορούμε να το αποδείξουμε; Λοιπόν, δεν έχουμε πολλά εμπόδια σε μια στρατηγική για να το αποδείξουμε. Η πιο πολλά υποσχόμενη πρόταση είναι να βρεθεί ένας φυσικός αυτο-συνδεόμενος τελεστής του οποίου οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν στα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann, αλλά κανείς δεν ξέρει πραγματικά πώς να το κάνει αυτό. Έχει γίνει μεγάλος όγκος εργασιών που δείχνει ότι τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann (και άλλων συναρτήσεων L) κατανέμονται όπως οι ιδιοτιμές ενός μεγάλου τυχαίου Ερμιτιανού πίνακα, οπότε αυτό δεν φαίνεται σαν μια εντελώς τρελή ιδέα.Τα πάντα στα μαθηματικά είναι δύσκολα εκτός αν έχουμε βάσιμους λόγους να πιστεύουμε ότι δεν είναι. Εάν είχαμε μια ξεκάθαρη γραμμή επίθεσης για να λύσουμε το RH, θα ήταν πολύ πιο εύκολο να μετρήσουμε πόσο μακριά είμαστε από την επίλυσή του. Αλλά δεν είναι απολύτως σαφές ότι οι ιδέες που έχουμε τώρα θα μας οδηγήσουν στην επίλυση του RH. Καταλαβαίνω την απογοήτευσή σας για αυτήν την απάντηση, αλλά δεν νομίζω ότι θα έχουμε καλύτερη.
- “Εάν επιλέξετε έναν αριθμό n και ρωτήσετε πόσους πρώτους αριθμούς υπάρχουν λιγότεροι από n αποδεικνύεται ότι η απάντηση προσεγγίζει τον τύπο: n / log n . Ο τύπος δεν είναι ακριβής, ωστόσο: μερικές φορές είναι λίγο υψηλός και μερικές φορές είναι λίγο χαμηλός. Ο Ρίμαν εξέτασε αυτές τις αποκλίσεις και είδε ότι περιείχαν περιοδικότητες.Σε ένα χαοτικό σύστημα, ένα αντικείμενο συνήθως κινείται απρόβλεπτα, αλλά μερικές φορές η διαδρομή του επανέρχεται στο εαυτό της σε “περιοδική τροχιά“. Οι Berry and Keating θεωρούν ότι το σωστό κβαντικό σύστημα θα έχει μία άπειρη συλλογή περιοδικών τροχιών, μία για τον κάθε πρώτο αριθμό.Το 1999 οι Katz και Sarnak προέβλεψαν ότι ένα τέτοιο σύστημα θα πρέπει να έχει ένα ειδικό είδος συμμετρίας, που ονομάζεται συμπλεκτική συμμετρία . “Julian Brown, “Where Two Worlds Meet” , Νέος Επιστήμονας, 16 Μαΐου 1996.
- Ο Μπέρι είναι επίσης πεπεισμένος ότι πρέπει να υπάρχει ένα συγκεκριμένο χαοτικό σύστημα, το οποίο όταν κβαντιστεί θα έχει επίπεδα ενέργειας που θα αντιγράφουν ακριβώς τους αριθμούς Ρίμαν. “Η εύρεση αυτού του συστήματος θα μπορούσε να είναι η ανακάλυψη του αιώνα”, λέει. Θα γίνει ένα πρότυπο σύστημα για την περιγραφή χαοτικών συστημάτων με τον ίδιο τρόπο που ο απλός αρμονικός ταλαντωτής χρησιμοποιείται ως μοντέλο για όλα τα είδη περίπλοκων ταλαντωτών. Θα μπορούσε να διαδραματίσει θεμελιώδη ρόλο στην περιγραφή όλων των ειδών του χάους. Η αναζήτηση αυτού του μοντέλου συστήματος θα μπορούσε να είναι το ιερό δισκοπότηρο του χάους … [Δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για τις ιδιότητές του, αλλά ο Berry πιστεύει ότι το σύστημα είναι μάλλον απλό και αναμένει ότι θα οδηγήσει σε εντελώς νέα φυσική. Είναι μια δελεαστική σκέψη. “Julian Brown, “Where Two Worlds Meet” , Νέος Επιστήμονας, 16 Μαΐου 1996.
- Μαθηματικοί φυσικοί ανακοίνωσαν πρόοδο σε ένα θεώρημα 150 ετών, για το οποίο το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay προσφέρει ένα βραβείο εκατομμυρίων δολαρίων. Οι επιστήμονες παρουσίασαν έναν τελεστή που ικανοποιεί την εικασία Hilbert-Poya, η οποία δηλώνει ότι υπάρχει ένας διαφορικός τελεστής του οποίου ιδιοτιμές αντιστοιχούν ακριβώς στα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. Το άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Physical Review Letters.Η θεωρία συναρτήσεων προβλέπει ότι το σύνολο των μη τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης ζήτα θα πρέπει να είναι παρόμοιο με το σύνολο των ιδιοτιμών (“λύσεις” για εξισώσεις μήτρας) κάποια άλλη συνάρτηση από την κατηγορία των διαφορικών τελεστών που χρησιμοποιούνται συχνά στη φυσική. Η ιδέα της ύπαρξης ενός συγκεκριμένου τελεστή με τέτοιες ιδιότητες ονομάστηκε εικασία Hilbert-Poya, αν και ούτε ο ένας ούτε ο άλλος δημοσίευσαν εργασίες σχετικά με αυτό το θέμα. «Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν δημοσιεύσεις «συγγραφέων» για αυτό το θέμα, η διατύπωση της υπόθεσης αλλάζει ανάλογα με την ερμηνεία», εξηγεί ένας από τους συγγραφείς του άρθρου, ο Ντόρτζε Μπρόντι του Πανεπιστημίου Brunel στο Λονδίνο. – Ωστόσο, πρέπει να πληρούνται δύο σημεία: α) είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας τελεστής του οποίου οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν σε μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα και β) να καθοριστεί ότι οι ιδιοτιμές είναι πραγματικοί αριθμοί.
- « Ο τελεστής στα μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς την κατά ένα καθορισμένο τρόπο. Μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης, καθώς οι συναρτήσεις δρουν συνήθως πάνω σε μεμονωμένα «αντικείμενα», ενώ ένας τελεστής μπορεί να δράσει πάνω στη «μορφή» μιας συνάρτησης ως σύνολο και να δώσει μια άλλη συνάρτηση.» :Βικιπαίδεια.
Η γνώμη του συγγραφέα.
Αν και η Υπόθεση Ρίμαν αποτελεί το δημοφιλέστερο πρόβλημα στο θεώρημα των πρώτων αριθμών δεν είναι το πολυπλοκότερο. Αυτό το προνόμιο ας μου συγχωρηθεί το ατόπημα , το έχει η εικασία Γκόλντμπαχ. Η υπόθεση Ρίμαν είναι υπόθεση κατανομής των πρώτων αριθμών. Αν βρεθεί ο πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών τότε θα συγκρίνουμε τα ευρήματα με την εξαιρετική αυτή μαθηματική προσέγγιση του μεγάλου Μαθηματικού και μπορεί να μας βοηθήσει και γιατί όχι και στην επίλυσή της. Η εικασία Γκόλντμπαχ είναι και αυτή ένα πρόβλημα της κατανομής , αλλά δεν αρκεί μόνο η κατανομή για να το λύσουμε. Θα πρέπει να αλληλο συσχετίσουμε και άλλες θεωρίες – υποθέσεις των πρώτων αριθμών. Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί να αποτελεί ταυτόχρονα και ένα πρότυπο για το τι σχέσεις ή μαθηματικές έννοιες αναζητούμε στον αντίστοιχο πίνακα κατανομής των πρώτων στο πεδίο των φυσικών αριθμών . Μήπως ισχύουν και όλες οι υποθέσεις της υπόθεσης Ρίμαν ή και ο αντίστοιχος πίνακας κατανομής στους φυσικούς αριθμούς έχει και τις ίδιες υποθέσεις.
Περισσότερα βέβαια σε μια ξεχωριστή δημοσίευση που έπεται σύντομα θέλοντας και εγώ με τον τρόπο μου να τιμήσω αυτόν τον εξαιρετικό Μαθηματικό επιστήμονα .
