ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Το βασικό πρόβλημα των πρώτων αριθμών είναι η κατανομή τους. Όλες οι θεωρίες,υποθέσεις,εικασίες, γνώμες έχουν σαν βασικό συστατικό της απόδειξής τους την κατανομή των πρώτων αριθμών.
ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ
Μια συνοπτική επισκόπηση «υποθέσεων – ρήσεων» που υιοθετούν σχετικά με την θεώρημα των πρώτων αριθμών, μέλη της παγκόσμιας μαθηματικής επιστημονικής κοινότητας.Το θέμα είναι τεράστιο ως εκ τούτου και οι γνώμες πολλές. Κάποιες αντιπροσωπευτικές των βασικών ζητημάτων (κατανομή, μοτίβα,περιοδικότητες, πίνακας κατανομής, τυχαιότητα κ.λπ) αλλά και αρκετές προτεινόμενες «λύσεις» έστω και υπό μορφή υπόθεσης. : Οι επισημάνσεις και υπογραμμίσεις είναι του συγγραφέα. Αφορούν το ερώτημα δεν υπάρχουν ή δεν έχουν βρεθεί.
Δεν υπάρχουν ; ή δεν έχουν βρεθεί ;
- Υπάρχει κάποιος μαθηματικός τύπος που παράγει πρώτους αριθμούς; Πού βρίσκεται η πρότυπη μορφή (το καλούπι) που γεννά αυτούς τους άπιαστους αριθμούς;
- «Η μη ύπαρξη ενός μοτίβου κατανομής τους, η φαινομενική ανισορροπία κατανομής και εμφάνισής τόσο των Π.Α (πρώτων αριθμών) όσο και των διδύμων (ΔΔ) δημιουργεί την υπόθεση ως τώρα, ότι η ακολουθία των ΠΑ θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια: Οι πρώτοι αριθμοί «συμπεριφέρονται» ως τυχαίοι αριθμοί.» (Ξένη δημοσίευση).
- “Οι πρώτοι αριθμοί είναι τα πιο βασικά αντικείμενα στα μαθηματικά. Είναι επίσης από τα πιο μυστηριώδη, γιατί μετά από αιώνες μελέτης, η δομή του συνόλου των πρώτων αριθμών δεν είναι ακόμη καλά κατανοητή. Η περιγραφή της κατανομής των πρώτων βρίσκεται στο επίκεντρο πολλών μαθηματικών…” Granville από το δελτίο τύπου AMS , 5 Δεκεμβρίου 1997.
- «Οι μαθηματικοί προσπάθησαν μάταια μέχρι σήμερα να ανακαλύψουν κάποια σειρά στην ακολουθία των πρώτων αριθμών και έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι είναι ένα μυστήριο στο οποίο ο νους δεν θα διεισδύσει ποτέ». Leonard Euler , στο G. Simmons, Calculus Gems , McGraw-Hill, New York, 1992.
- Ένα κάπως αποθαρρυντικό απόσπασμα για τους πρώτους αριθμούς από κάποιον που ήταν τόσο εξοικειωμένος με αυτούς όσο κάποιος ήταν ποτέ: «Θα περάσουν εκατομμύρια χρόνια μέχρι να έχουμε κάποια κατανόηση, και ακόμη και τότε δεν θα είναι μια πλήρης κατανόηση, επειδή είμαστε ενάντια στο άπειρο» P. Erdös (συνέντευξη με τον P. Hoffman, Atlantic Monthly , Νοέμβριος 1987, σελ. 74)
- Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.
Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα. Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. - Ο Μπέρι είναι επίσης πεπεισμένος ότι πρέπει να υπάρχει ένα συγκεκριμένο χαοτικό σύστημα, το οποίο όταν κβαντιστεί θα έχει επίπεδα ενέργειας που θα αντιγράφουν ακριβώς τους αριθμούς Ρίμαν. “Η εύρεση αυτού του συστήματος θα μπορούσε να είναι η ανακάλυψη του αιώνα”, λέει. Θα γίνει ένα πρότυπο σύστημα για την περιγραφή χαοτικών συστημάτων με τον ίδιο τρόπο που ο απλός αρμονικός ταλαντωτής χρησιμοποιείται ως μοντέλο για όλα τα είδη περίπλοκων ταλαντωτών. Θα μπορούσε να διαδραματίσει θεμελιώδη ρόλο στην περιγραφή όλων των ειδών του χάους. Η αναζήτηση αυτού του μοντέλου συστήματος θα μπορούσε να είναι το ιερό δισκοπότηρο του χάους … [Δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για τις ιδιότητές του, αλλά ο Berry πιστεύει ότι το σύστημα είναι μάλλον απλό και αναμένει ότι θα οδηγήσει σε εντελώς νέα φυσική. Είναι μια δελεαστική σκέψη. “Julian Brown, “Where Two Worlds Meet” , Νέος Επιστήμονας, 16 Μαΐου 1996.
- Πρώτη παραγοντοποίηση. « Ιδανικές συμμετρίες»
Την ίδια στιγμή που ο Λαμέ έδωσε την αποτυχημένη απόδειξη του, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer ανέπτυξε έναν τρόπο να διορθώσει την απώλεια της πρωταρχικής παραγοντοποίησης με αυτό που ονόμασε «ιδανικοί αριθμοί». Δεν είναι αριθμοί με οποιαδήποτε συμβατική έννοια. Αντίθετα, είναι εκτεταμένες κατασκευές στη θεωρία των συνόλων που εκτελούν μια αριθμητική συνάρτηση.
Για παράδειγμα, το απλούστερο ιδανικό είναι το άπειρο σύνολο όλων των πολλαπλών ενός δεδομένου ακέραιου – 5, 10, 15, 20 και ούτω καθεξής. Τα ιδανικά μπορούν να προστεθούν σε έναν ήδη διευρυμένο δακτύλιο αριθμών για την αποκατάσταση της μοναδικής παραγοντοποίησης. Επιτρέπουν στους μαθηματικούς να συμφιλιώσουν τους ανταγωνιστικούς πρωταρχικούς παράγοντες σε ένα μόνο σύνολο πρωταρχικών παραγόντων.
Η μοναδική πρωταρχική παραγοντοποίηση είναι ένας τρόπος κατασκευής ενός αριθμητικού συστήματος από θεμελιώδη δομικά στοιχεία. Χωρίς αυτό, οι αποδείξεις μπορούν να γίνουν διαρροές. Η ανάμιξη των ριζών με τους κανονικούς αριθμούς απέτυχε ως επίθεση στο τελευταίο θεώρημα του Fermat, αλλά όπως συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά, ο τρόπος με τον οποίο απέτυχε ήταν προκλητικός. Ξεκίνησε μια περιοχή έρευνας που ονομάζεται αλγεβρική θεωρία αριθμών.» https://www.quantamagazine.org/ :Kevin Hartnett : Senior Writer: March 2, 2017.
- Μαθηματικοί φυσικοί ανακοίνωσαν πρόοδο σε ένα θεώρημα 150 ετών, για το οποίο το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay προσφέρει ένα βραβείο εκατομμυρίων δολαρίων. Οι επιστήμονες παρουσίασαν έναν τελεστή που ικανοποιεί την εικασία Hilbert-Poya, η οποία δηλώνει ότι υπάρχει ένας διαφορικός τελεστής του οποίου ιδιοτιμές αντιστοιχούν ακριβώς στα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. Το άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Physical Review Letters.Η θεωρία συναρτήσεων προβλέπει ότι το σύνολο των μη τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης ζήτα θα πρέπει να είναι παρόμοιο με το σύνολο των ιδιοτιμών (“λύσεις” για εξισώσεις μήτρας) κάποια άλλη συνάρτηση από την κατηγορία των διαφορικών τελεστών που χρησιμοποιούνται συχνά στη φυσική. Η ιδέα της ύπαρξης ενός συγκεκριμένου τελεστή με τέτοιες ιδιότητες ονομάστηκε εικασία Hilbert-Poya, αν και ούτε ο ένας ούτε ο άλλος δημοσίευσαν εργασίες σχετικά με αυτό το θέμα. «Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν δημοσιεύσεις «συγγραφέων» για αυτό το θέμα, η διατύπωση της υπόθεσης αλλάζει ανάλογα με την ερμηνεία», εξηγεί ένας από τους συγγραφείς του άρθρου, ο Ντόρτζε Μπρόντι του Πανεπιστημίου Brunel στο Λονδίνο. – Ωστόσο, πρέπει να πληρούνται δύο σημεία: α) είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας τελεστής του οποίου οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν σε μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα και β) να καθοριστεί ότι οι ιδιοτιμές είναι πραγματικοί αριθμοί.
- « Ο τελεστής στα μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς την κατά ένα καθορισμένο τρόπο. Μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης, καθώς οι συναρτήσεις δρουν συνήθως πάνω σε μεμονωμένα «αντικείμενα», ενώ ένας τελεστής μπορεί να δράσει πάνω στη «μορφή» μιας συνάρτησης ως σύνολο και να δώσει μια άλλη συνάρτηση.»
- «Στοιχειώδεις μέθοδοι ή μη ». «Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος που προσέγγισε ο Τσέμπισεφ αυτό το πρόβλημα. Κατέληξε στα συμπεράσματά του χωρίς να χρησιμοποιήσει καθόλου θεωρία μιγαδικών συναρτήσεων, κάτι που οι μαθηματικοί περιγράφουν συνήθως λέγοντας ότι ο Τσέμπισεφ χρησιμοποίησε «στοιχειώδεις μεθόδους». Στο άρθρο του το 1859,για να αντιμετωπίσει τα προβλήματα που διερευνούσε ,ο Ρίμαν δεν χρησιμοποίησε στοιχειώδεις μεθόδους, αλλά τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων σε πλήρη ανάπτυξη. Τα αποτελέσματα στα οποία κατέληξε ήταν τόσο εντυπωσιακά , ώστε και οι άλλοι μαθηματικοί τον μιμήθηκαν και το ΘΠΑ τελικά αποδείχτηκε με χρήση των «μη στοιχειωδών» μεθόδων του Ρίμαν.Το πρόβλημα , αν είναι εφικτή μια απόδειξη της ΘΠΑ με στοιχειώδεις μεθόδους παρέμεινε ανοικτό, ύστερα όμως από μερικές δεκαετίες η γενική τάση θεωρούσε μια τέτοια απόδειξη αδύνατη. Έτσι στο «Η κατανομή των πρώτων αριθμών», ένα κείμενο που δημοσίευσε το 1932 ο Άλμπερτ Ίνγκαμ, ο συγγραφέας αναφέρει σε μια υποσημείωση : «Μια απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών μέσω ¨πραγματικών μεταβλητών¨, δηλαδή μια απόδειξη που να μην συμπεριλαμβάνει άμεσα ή έμμεσα αναφορές στην έννοια της αναλυτικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής , δεν ανακαλύφθηκε ποτέ και είναι κατανοητό το γιατί…» Σελ.176: JOHN DERBYSHIRE – ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ.
«Ίσως υπάρχει μια εναλλακτική άποψη» για να κατανοήσουμε αυτούς τους αινιγματικούς αριθμούς;
“Ίσως έχουμε μείνει τόσο κρεμασμένοι να κοιτάμε τα πρωτεύοντα (πρώτους αριθμούς) από την οπτική του Γκάους και του Ρίμαν και ότι αυτό που μας λείπει είναι απλά ένας διαφορετικός τρόπος για να κατανοήσουμε αυτούς τους αινιγματικούς αριθμούς. Ο Γκάους έκανε μια εκτίμηση για τον αριθμό των πρώτων, ο Ρίμαν προέβλεψε ότι η εικασία είναι στη χειρότερη περίπτωση, η τετραγωνική ρίζα του Ν από το σημάδι της, ο Λίτλγουντ έδειξε ότι δεν μπορείς να το κάνεις καλύτερα από αυτό. Ίσως υπάρχει μια εναλλακτική άποψη που κανείς δεν έχει βρει γιατί έχουμε δεθεί τόσο πολιτιστικά με το σπίτι που έκτισε ο Γκάους. ” (σελ.312.) Το πρόσφατο βιβλίο του καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, Marcus du Sautoy, The Music of the Primes (Fourth Estate, 2003) περιέχει έναν πλούτο σχετικών αποσπασμάτων.
Η γνώμη του συγγραφέα.
Προφανώς η συχνά αναφερόμενη και σαν «τυχαιότητα» στην εμφάνιση και κατανομή των πρώτων αριθμών εκ μέρους της ίδιας της επιστήμης, θα πρέπει να αποδίδεται όχι στην πεποίθηση ότι είναι πράγματι τυχαία κατανεμημένοι, αλλά ότι δεν βρέθηκε ένα μοτίβο να τεκμηριώνει την σχεδόν βεβαιότητα της κανονικότητας στην κατανομή των πρώτων αριθμών.
Η τυχαιότητα είναι η αδυναμία μας να προσδιορίσουμε μία αρχή για το κάθε μοτίβο μέσα στο οποίο αρχίζουν να εμφανίζονται και να επαναλαμβάνονται αυτές οι κανονικότητες. Στα φυσικά συστήματα προσπαθούμε να βρούμε ένα αρχικό γενικό μοτίβο χωρίς να έχουμε ακριβώς την πληροφορία (την αναλογία) της αρχής των παραμέτρων (στοιχείων) που τα συνθέτουν. Οπότε βρισκόμαστε «μέσα» σε ένα σύστημα που δεν βλέπουμε, δεν γνωρίζουμε ,δεν κατανοούμε την πληρότητά και την ολότητά του.
Στην τελευταία (11 επισήμανση . «Στοιχειώδεις μέθοδοι ή μη ») εκτιμώ ότι κρύβεται και η στασιμότητα της προόδου στην ολιστική απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.”
Έτσι στο «Η κατανομή των πρώτων αριθμών», ένα κείμενο που δημοσίευσε το 1932 ο Άλμπερτ Ίνγκαμ, ο συγγραφέας αναφέρει σε μια υποσημείωση : «Μια απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών μέσω ¨πραγματικών μεταβλητών¨, δηλαδή μια απόδειξη που να μην συμπεριλαμβάνει άμεσα ή έμμεσα αναφορές στην έννοια της αναλυτικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής , δεν ανακαλύφθηκε ποτέ και είναι κατανοητό το γιατί…» Σελ.176: JOHN DERBYSHIRE – ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ.»
Μήπως 160 χρόνια μετά, είναι περισσότερο από ποτέ επίκαιρο να αντιστρέψουμε το ερώτημα. Γιατί μετά την εξαιρετική υπόθεση Ρίμαν (1859) δεν έχει υπάρξει καμία ουσιαστική πρόοδος στο θεώρημα των πρώτων αριθμών. Όλα τα βασικά ερωτήματα παραμένουν αναπάντητα.
Η προσπάθεια επίλυσης του ΘΠΑ με την προσεγγιστική μέθοδο της «αναλυτικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής» υπήρξε εξαιρετική στην προσέγγιση των ορίων της λύσης. Συνέβαλε τα μέγιστα στην απόκτηση νέας μαθηματικής γνώσης και απογείωσε την μαθηματική επιστήμη, μας έδωσε και την σημαντική πληροφορία για το πώς πιθανώς να είναι οι λύσεις στα βασικά προβλήματα των πρώτων αριθμών. Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί να αποτελεί και ένα πρότυπο υπόδειγμα για το τι θα πρέπει να αναζητήσουμε σε ένα πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Τα βασικά ερωτήματα όμως παραμένουν.
- Υπάρχει πίνακας κατανομής των πρώτων αριθμών.
- Υπάρχουν μοτίβα πρώτων αριθμών.
- Ισχύουν τελικά οι υποθέσεις Ρίμαν , Γκόλνμπαχ,
- Ποια είναι η βέλτιστη θεωρία Ντιρικλέ , η απόδειξη του θεωρήματος Green–Tao δεν δείχνει πώς να βρούμε τις αριθμητικές προόδους των πρώτων. αποδεικνύει απλώς ότι υπάρχουν . Και όλα τα υπόλοιπα βασικά προβλήματα των πρώτων αριθμών.
Μήπως ένα σύνθετο μεν πρόβλημα, απλών δε μαθηματικών (αυτό της αναλογίας) έγινε ένα πολύπλοκο πρόβλημα αποκλειστικά ανωτέρων μαθηματικών ,αποκλείοντας έτσι την πιθανότητα την λύση να μας δίνει η ισχυρότερη ιδιότητα των φυσικών αριθμών αυτή της αναλογίας.
Η εργασία μου επιχειρεί να απαντήσει σε όλα τα βασικά ερωτήματα που αφορούν το «θεώρημα των πρώτων αριθμών» και μέσα από αυτή θα δοθούν και οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα.
Προς τους αναγνώστες:
Μια χρήσιμη πληροφορία για την δομή της ιστοσελίδας και την ροή των δημοσιεύσεων.
Στο θεώρημα των πρώτων αριθμών η κυρίαρχη ιδιότητα των αριθμών είναι η αναλογία μεταξύ τους. Αυτή η αλληλοσυσχέτιση των αριθμών δημιουργεί ένα πολύ συνεκτικό τρόπο συγκρότησης μεταξύ τους που είναι αδύνατο να διαχωρίσεις το σύνολο σε επί μέρους ενότητες ή κεφάλαια και να εξηγήσεις το κάθε ένα χωριστά χωρίς να χρειαστείς να αναφερθείς σε κάποια ή κάποιες ιδιότητες μιας άλλης ενότητας. Έτσι οι δημοσιεύσεις θα εμφανίζονται σταδιακά χρησιμοποιώντας τις απαραίτητες αποδείξεις που αφορούν την κάθε ενότητα χωρίς να αναλύονται όλες οι πτυχές ενός θέματος που μπορεί να αφορούν ταυτόχρονα πολλές ενότητες.. Αυτό θα συμπληρώνεται σιγά σιγά με τις επόμενες δημοσιεύσεις.
Στο μενού εμφανίζονται οι βασικές ενότητες που θα γίνουν δημοσιεύσεις. Πρώτοι αριθμοί, Μοτίβα, Κατανομή κ.λ.π. Στην ενότητα μοτίβα εμφανίζονται αναλυτικά και οι υποενότητες ( Μοτίβα φυσικών αριθμών, πολλαπλασίων, πρώτων αριθμών, κατανομής κ.λ.π). Όταν θα γίνονται δημοσιεύσεις στις βασικές ενότητες αυτές οι υποενότητες θα συμπληρώνονται ταυτόχρονα με την κεντρική ενότητα και θα έχουν περισσότερες πληροφορίες. Έτσι όταν δημοσιευτεί η κατανομή των πρώτων αριθμών στην κεντρική ενότητα ΚΑΤΑΝΟΜΗ αντίστοιχα στην υποενότητα μοτίβα κατανομής θα εμφανιστούν ταυτόχρονα και οι αναλυτικές αποδείξεις , πίνακες , πληροφορίες κ.λ.π.
Επιλέχτηκε αυτός ο τρόπος δομής για πρακτικούς λόγους ανάγνωσης, εύρεσης κάποιου θέματος αλλά και μιας συνοχής της θεωρίας. Οι επιπλέον πληροφορίες που χρειάζονται σε κάθε κατηγορία θα βρίσκονται εδώ. Το κάθε κεντρικό θέμα δημοσίευσης έχει πληθώρα πινάκων, σχεδίων, μοτίβων κ.λ.π. Με αυτό το τρόπο το κεντρικό θέμα θα έχει σύντομη και περιεκτική παρουσίαση.
Γιαννούλας Νίκος Καλαμπάκα Νοέμβριος 2022
