ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Πρώτοι αριθμοί ένα μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα 2.500 ετών.
Συνοπτική παρουσίαση από την παγκόσμια βιβλιογραφία για θεωρίες , εικασίες, και γνώμες που σχετίζονται με τους πρώτους αριθμούς: Οι υπογραμμίσεις και η έντονη γραφή είναι του συγγραφέα. Υποδηλώνουν την άμεση συσχέτιση των συμπερασμάτων ή υποθέσεων που αναφέρονται παρακάτω με τα ευρήματα της εργασίας μου που θα δημοσιεύσω σε αυτή την ιστοσελίδα.
«Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι πρώτος αριθμός ονομάζεται σύνθετος αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι πρώτος, επειδή οι μόνοι διαιρέτες του είναι το 1 και το 5, ενώ το 6 είναι σύνθετος επειδή έχει διαιρέτες του το 2 και 3 εκτός των 1 και 6. Το μηδέν και το ένα δεν θεωρούνται πρώτοι αριθμοί.
Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων. Μια απλή αλλά αργή μέθοδος για να επαληθευτεί αν ένας δοθείς αριθμός n είναι πρώτος είναι η λεγόμενη δοκιμαστική διαίρεση. Η δοκιμαστική διαίρεση συνίσταται στον έλεγχο αν ο n είναι πολλαπλάσιο κάποιου ακέραιου αριθμού μεταξύ του 2 και του √n .
Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. Δεν υπάρχει κανένας γνωστός τύπος ο οποίος να διαχωρίζει όλους τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους. Ωστόσο, η κατανομή των πρώτων αριθμών, όπως λέμε τη στατιστική συμπεριφορά των πρώτων γενικά, μπορεί να μοντελοποιηθεί. Το πρώτο αποτέλεσμα προς αυτή την κατεύθυνση είναι το θεώρημα πρώτων αριθμών, το οποίο αποδείχτηκε στα τέλη του 19ου αιώνα, το οποίο λέει ότι η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου αριθμού n να είναι πρώτος είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλήθους των ψηφίων ή του λογαρίθμου του n.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Πολλά ερωτήματα γύρω από τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ανοιχτά, όπως η εικασία του Ρίμαν, η εικασία του Γκόλντμπαχ, η οποία λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων και η εικασία των διδύμων πρώτων, η οποία λέει ότι υπάρχουν άπειρα σε πλήθος ζευγάρια πρώτων των οποίων η διαφορά είναι 2. Τέτοιες ερωτήσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων κλάδων της θεωρίας αριθμών, εστιάζοντας στην αναλυτική ή αλγεβρική πλευρά των αριθμών. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς στην τεχνολογία πληροφοριών, όπως στην Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού, η οποία χρησιμοποιεί ιδιότητες, όπως τη δυσκολία να αναλύεις ένα μεγάλο αριθμό σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί συμβάλλουν σε διάφορες γενικεύσεις σε άλλους μαθηματικούς τομείς, ιδίως στην άλγεβρα, όπως τα στοιχεία πρώτων και τα ιδανικά πρώτων.» Βικιπαίδεια.
Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, οι πρώτοι αριθμοί θεωρούνταν ότι είχαν εξαιρετικά περιορισμένη εφαρμογή έξω από τα καθαρά μαθηματικά: αυτό άλλαξε τη δεκαετία του 1970, όταν οι έννοιες της κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού ανακαλύφθηκαν, στην οποία Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού, και οι πρώτοι αριθμοί αποτελούσαν τη βάση των πρώτων αλγορίθμων, όπως τον κρυπτογραφικό αλγόριθμο RSA. Το 1978, οι Ron Rivest, Adi Shamir και Leonard Adleman συνδύασαν μερικές απλές, γνωστές ιδιότητες των αριθμών και δημιούργησαν το RSA. Το σύστημα που ανέπτυξαν επιτρέπει ασφαλείς μεταφορές πληροφοριών – όπως για παράδειγμα αριθμούς πιστωτικών καρτών – online.
Αυτοί οι αριθμοί είναι τα κλειδιά για τις κλειδαριές που προστατεύουν τα ηλεκτρονικά μυστικά του κόσμου. Γι’ αυτό και εταιρείες όπως η ΑΤ&Τ και η Hewlett-Packard επενδύουν χρήματα στην προσπάθεια για κατανόηση της περιπλοκότητας των πρώτων αριθμών και της Υπόθεσης του Ρίμαν. Η γνώση που θα αποκτηθεί από αυτή τη διαδικασία, θα μπορούσε να βοηθήσει στο σπάσιμο των κωδίκων οι οποίοι βασίζονται στους πρώτους αριθμούς και όλες οι εταιρείες που δραστηριοποιούνται στο διαδίκτυο, θα ήθελαν να μάθουν αμέσως ότι οι κώδικές τους δεν είναι πια ασφαλείς – γι’ αυτό ακριβώς, η Θεωρία των Αριθμών και οι επιχειρήσεις έχουν γίνει ένα τόσο παράξενο ζευγάρι. Οι επιχειρήσεις και οι υπηρεσίες ασφαλείας έχουν στραμμένα τα άγρυπνα μάτια τους στους μαυροπίνακες των καθαρών Μαθηματικών.
Ως πρώτοι αριθμοί, ορίζονται οι αριθμοί οι οποίοι διαιρούνται ακριβώς με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Ωστόσο, δεν είναι μόνο αυτό. Πόσοι όμως από εμάς γνωρίζουν ότι οι πρώτοι αριθμοί, ταυτίζονται με το πιο βασανιστικό μυστήριο που προσπαθεί να εξιχνιάσει η ανθρώπινη γνώση; Το 330 π.Χ.: ο Ευκλείδης, στα Στοιχεία του, αποδεικνύει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, ρίχνοντας το γάντι στους μαθηματικούς των επόμενων αιώνων. Υπάρχει κάποια πρότυπη μορφή (κάποιο καλούπι) που παράγει πρώτους;
Το 1859, Ακαδημία του Βερολίνου: ο Γερμανός μαθηματικός Μπέρνχαρντ Ρίμαν, παρουσιάζει μια πραγματεία που αφορά το μυστήριο των πρώτων αριθμών. Η Υπόθεσή του υπόσχεται τη λύση του γρίφου.
Η Υπόθεση του Ρίμαν αποτελεί ακόμη την υπ’ αριθμόν ένα μονομανία των κορυφαίων μαθηματικών. Η απόδειξή της συνδέεται με την ασφάλεια στις τραπεζικές συναλλαγές και στο ηλεκτρονικό εμπόριο. Ενδέχεται να επιφέρει κοσμογονικές συνέπειες στην εξέλιξη της επιστήμης, καθώς οι πρώτοι αριθμοί βρίσκονται στο σημείο συνάντησης της Κβαντομηχανικής και της Θεωρίας του Χάους.
Πώς μπορούμε να προβλέψουμε πότε θα προκύψει ο επόμενος πρώτος αριθμός; Άραγε, υπάρχει κάποιος μαθηματικός τύπος που παράγει πρώτους αριθμούς; Πού βρίσκεται η πρότυπη μορφή (το καλούπι) που γεννά αυτούς τους άπιαστους αριθμούς; Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μέχρι τις ημέρες μας, οι μαθηματικοί προσπαθούν να δώσουν απαντήσεις σ’ αυτά τα ερωτήματα, επιδιώκοντας να εξιχνιάσουν αυτό τον αρχετυπικό γρίφο.Η επίλυση στο πρόβλημα των πρώτων αριθμών (όταν επιτευχθεί) θα σημάνει πραγματική επανάσταση για τον κόσμο των μαθηματικών. Η εξιχνίαση του μυστηρίου θα έχει κοσμογονικές επιπτώσεις στην επιστήμη, και όχι μόνο. (Marcus du Sautoy – Η μουσική των πρώτων αριθμών)
Ο διάσημος Βρετανός μαθηματικός Godfrey Harold Hardy δήλωσε: “Τα καθαρά μαθηματικά είναι εν γένει σαφώς πιο χρήσιμα από αυτά που εφαρμόζονται. Ο λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι ότι χρησιμότερο όλων είναι η τεχνική, και η μαθηματική τεχνική διδάσκεται κυρίως μέσα από τα καθαρά μαθηματικά ».
« Οι προσπάθειες μοντελοποίησης των πρώτων αριθμών με αποδεδειγμένο το γεγονός ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος το παραπάνω ερώτημα μοιάζει σαν ένα απροσπέλαστο εμπόδιο. «Το πρόβλημα του να διαχωρίσεις τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους, καθώς και να αναλύσεις τους τελευταίους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι γνωστό ως το πιο σημαντικό και χρήσιμο στην Θεωρία Αριθμών. Έχει απασχολήσει την δημιουργία και την σοφία πολλών αρχαίων και σύγχρονων γεωμετρών σε τέτοιο βαθμό που θα ήταν περιττό να συζητήσω το θέμα εις βάθος (…) επιπλέον η αξιοπρέπεια της ίδιας της επιστήμης φαίνεται να απαιτεί να εξερευνηθεί κάθε πιθανό μέσο για την επίλυση ενός προβλήματος τόσο κομψού και τόσο φημισμένου.» (Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Article 329, 1801).
Το παραπάνω σχόλιο ανήκει στον ονομαζόμενο και “πρίγκιπα” των μαθηματικών Carl Friedrich Gauss (1777-1855) και μαρτυρά την χρησιμότητα των πρώτων , μέσα από την ανάλυση όλων των φυσικών σε γινόμενο πρώτων , αλλά και την τεράστια δυσκολία που έχει η απόπειρα να βρούμε έναν τρόπο παραγωγής πρώτου αριθμού. O Gauss, μάλιστα, έστρεψε την προσοχή του από την εύρεση ξεχωριστά πρώτων αριθμών αναζητώντας την μέση κατανομή τους. Το 1792 και μόλις 15 ετών εξέτασε έναν πίνακα πρώτων που είχε κατασκευαστεί από τον Γερμανοελβετό μαθηματικό Johann Heinrich Lampert (1728-1777) ψάχνοντας έναν κανόνα που θα ισχύει για όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι ή ίσοι από έναν ακέραιο x .
Ρίμαν
Τον Αύγουστο του 1859, ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν έγινε αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας του Βερολίνου – εξαιρετική τιμή για έναν τόσο νεαρό μαθηματικό (ήταν μόλις 32 ετών). Όπως συνηθιζόταν σε τέτοιες περιπτώσεις, ο Ρίμαν υπέβαλε στην Ακαδημία μια εργασία στην οποία περιέγραφε μια από τις έρευνές του. Ο τίτλος του αντίστοιχου άρθρου ήταν: «Σχετικά με το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιο δεδομένο αριθμό». Μέσα στο άρθρο, ο Ρίμαν διερευνούσε ένα γνωστό πρόβλημα της κλασικής αριθμητικής. Για να καταλάβουμε το πρόβλημα ας αναρωτηθούμε: Πόσοι πρώτοι αριθμοί αριθμών (πρώτοι αριθμοί=διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους) υπάρχουν, μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι οκτώ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19. Πόσοι είναι μικρότεροι από το 10001 Από το 1 εκατομμύριο; Από το 1 δισεκατομμύριο;
Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε; Ο Ρίμαν προσέγγισε το πρόβλημα με τα πιο προχωρημένα μαθηματικά της εποχής του, χρησιμοποιώντας «εργαλεία» που σήμερα διδάσκονται μόνο σε υψηλού επιπέδου πανεπιστημιακά μαθήματα, και επινοώντας για τις ανάγκες της έρευνάς του ένα πολύ ισχυρό και περίπλοκο μαθηματικό αντικείμενο. Κάπου προς το μέσο του άρθρου του, διατύπωσε μια εικασία σχετικά με αυτό το αντικείμενο και στη συνέχεια παρατήρησε:
«Θα θέλαμε φυσικά να είχαμε μια αυστηρή απόδειξη αυτού του ισχυρισμού. Ωστόσο, ύστερα από κάποιες σύντομες άκαρπες προσπάθειες να ανακαλύψω αυτή την απόδειξη, παρέκαμψα το θέμα αφού δεν είναι απαραίτητο για τους άμεσους στόχους της έρευνάς μου».
Η υπόθεση του Ρίμαν, όπως τελικά ονομάστηκε αυτή η εικασία, παρέμεινε βασανιστική μονομανία ολόκληρο τον 20ό αιώνα και έτσι παραμένει ως τις μέρες μας, αφού μέχρι σήμερα αντιστέκεται (;) σθεναρά σε κάθε προσπάθεια απόδειξης ή κατάρριψης.
H υπόθεση του Ρίμαν δεν είναι εύκολο να διατυπωθεί με όρους που θα κατανοούσε εύκολα ένας μη μαθηματικός, επειδή βρίσκεται στο επίκεντρο μιας ιδιαιτέρων περίπλοκης μαθηματικής θεωρίας. Η διατύπωσή της είναι η εξής: «Όλες οι μη τετριμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½», όπου η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται από την εξίσωση:
“Προκειμένου ο Ρίμαν να συμπληρώσει το τμήμα που λείπει από τη συνάρτηση δεδομένων του Euler έπρεπε να δημιουργήσει μια ολοκαίνουργια συνάρτηση, η συνάρτηση θα έπαιρνε τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση ζήτα (ζ) όπου και οι δύο συγκλίνουν, αλλά έπρεπε να έχει νόημα και παντού στο επίπεδο. Οπότε το μυστικό της συνέχισης της ανάλυσης είναι ότι πραγματικά υπάρχουν δύο συναρτήσεις ταυτόχρονα. Μία είναι η αρχική συνάρτηση ζήτα (ζ) έχει περιορισμένη εμβέλεια, αλλά η άλλη είναι η νέα αυτή συνάρτηση. Η συνάρτηση Riemann zeta που εκτείνεται πέρα από τον τομέα που ορίστηκε από τον Euler.”
“Ο Riemann έδειξε τη σημασία της μελέτης της συνάρτησης [το ζήτα] για μια σειρά προβλημάτων στη θεωρία αριθμών που επικεντρώνονται στην κατανομή των πρωταρχικών αριθμών και απέδειξε περαιτέρω ότι πολλά από αυτά τα προβλήματα θα μπορούσαν να επιλυθούν εάν κάποιος γνώριζε τη θέση των μηδενικών. Αυτή η λειτουργία. Παρά τις συνεχείς επιθέσεις και την πρόοδο από τις αρχικές έρευνες του Riemann, αυτό το δελεαστικό ερώτημα παραμένει ένα από τα σημαντικότερα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. ” D. Reed, Figures of Thought (Routledge, Νέα Υόρκη, 1995) σελ.123
Στο μεταξύ, οι μαθηματικοί επιχειρούν να αποδείξουν την αλήθεια ή το ψεύδος της εικασίας του Riemann. Θα αλλάξει κάτι στη ζωή μας αν τα καταφέρουν; Ίσως ναι, ίσως όχι. Θα προκύψουν πρακτικές εφαρμογές; Ίσως ναι, ίσως όχι. Έχει νόημα η καθαρή μαθηματική αναζήτηση, χωρίς να υπάρχει ένας ξεκάθαρος πρακτικός στόχος; Σίγουρα ναι! Αρκεί να έχετε υπόψη πως η κατασκευή των υπολογιστών βασίζεται, εν πολλοίς, σε καθαρά θεωρητικές εργασίες των Kurt Goedel και Alan Turing. Οποιαδήποτε άποψη επιτάσσει –ή έστω υπονοεί– την εξάσκηση μόνο “χρήσιμης έρευνας”, είναι στην καλύτερη περίπτωση γελοία και στη χειρότερη επικίνδυνη.
Χώκινς:χρονικό του χρόνου.
«Όλες οι μέθοδοι για τη διάκριση αιτιοκρατικών και στοχαστικών διαδικασιών βασίζονται στο γεγονός ότι ένα ντετερμινιστικό σύστημα εξελίσσεται πάντα με τον ίδιο τρόπο από ένα δεδομένο σημείο εκκίνησης.»
«Για να μπορέσουμε να προβλέψουμε τη μελλοντική θέση και ταχύτητα, ενός σωματιδίου πρέπει να μπορούμε να μετρήσουμε επακριβώς την τωρινή του θέση και ταχύτητα.Werner Heisenberg, αρχή της απροσδιοριστίας.
Η φυσική φαίνεται ότι έχει αποκαλύψει ένα σύνολο νόμων που, μέσα στα όρια που θέτει η αρχή της απροσδιοριστίας, μας επιτρέπουν να προβλέψουμε πώς θα είναι το Σύμπαν σε κάποια χρονική στιγμή αν γνωρίζουμε πώς ήταν σε κάποια άλλη.» σελ 187. Χώκινς: χρονικό του χρόνου.
«Η φυσική ερμηνεία της θεωρίας de Broglie-Bohm: Η απροσδιοριστία στη θέση οφείλεται σε άγνοια των αρχικών θέσεων του σωματιδίου.»
Καθώς οι φυσικοί ανακάλυπταν όλο και περισσότερα σωματίδια και τα σχετικά πεδία τους, αναπτύχθηκε μια παράλληλη προοπτική. Οι ιδιότητες αυτών των σωματιδίων και πεδίων φαίνονταν να ακολουθούν αριθμητικά μοτίβα. Επεκτείνοντας αυτά τα μοτίβα, οι φυσικοί μπόρεσαν να προβλέψουν την ύπαρξη περισσότερων σωματιδίων. «Άπαξ και κωδικοποιήσετε τα μοτίβα που παρατηρείτε στα μαθηματικά, τα μαθηματικά διαθέτουν προβλεπτικότητα. Σου λένε περισσότερα πράγματα από αυτά που μπορείς να παρατηρήσεις, επισημαίνει η Helen Quinn, φυσικός σωματιδίων στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ.»
Καθολικότητα
Όλα τα πολύπλοκα συσχετιζόμενα συστήματα, από τις αρκτικές λίμνες της Αρκτικής έως το Διαδίκτυο, φαίνεται να διέπονται από τα ίδια μαθηματικά με έναν τυχαίο πίνακα. Επαναλαμβανόμενα, ανεξάρτητα από τα ειδικά χαρακτηριστικά τους, οι τυχαίοι πίνακες φαίνεται να εμφανίζουν το ίδιο χαοτικό αλλά κανονικό μοτίβο στην κατανομή των ιδιοτιμών τους. Γι ‘αυτό οι μαθηματικοί αποκαλούν το φαινόμενο «καθολικότητα». Η καθολικότητα θεωρείται ότι προκύπτει όταν ένα σύστημα είναι πολύ περίπλοκο, αποτελούμενο από πολλά μέρη που αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους για τη δημιουργία ενός φάσματος. Ένα άλλο μυστήριο είναι αυτό που έχει να κάνει με τη λειτουργία Zeta Riemann, της οποίας το φάσμα των μηδενικών παρουσιάζει καθολικότητα. Τα μηδενικά της συνάρτησης zeta συνδέονται στενά με την κατανομή των πρωταρχικών αριθμών – τους μη ανακτήσιμους ακέραιους αριθμούς από τους οποίους κατασκευάζονται όλοι οι άλλοι. Απόσπασμα από το άρθρο με θέμα την « καθολικότητα».«Natalie Wolchover : Senior Writer/Editorhttps://www.quantamagazine.org/February 5, 2013
Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 παραγοντοποιείται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Πρωταρχική παραγοντοποίηση
Στα μαθηματικά , και πιο συγκεκριμένα στη θεωρία αριθμών , η πρωταρχική , που συμβολίζεται με “#”, είναι μια συνάρτηση από φυσικούς αριθμούς σε φυσικούς αριθμούς παρόμοια με την παραγοντική συνάρτηση, αλλά αντί να πολλαπλασιάζει διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, η συνάρτηση πολλαπλασιάζει μόνο πρώτους αριθμούς . Βικιπέδεια.
Πρώταρχική παραγοντοποίηση. « Ιδανικές συμμετρίες»
Την ίδια στιγμή που ο Λαμέ έδωσε την αποτυχημένη απόδειξη του, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer ανέπτυξε έναν τρόπο να διορθώσει την απώλεια της πρωταρχικής παραγοντοποίησης με αυτό που ονόμασε «ιδανικοί αριθμοί». Δεν είναι αριθμοί με οποιαδήποτε συμβατική έννοια. Αντίθετα, είναι εκτεταμένες κατασκευές στη θεωρία των συνόλων που εκτελούν μια αριθμητική συνάρτηση.
Για παράδειγμα, το απλούστερο ιδανικό είναι το άπειρο σύνολο όλων των πολλαπλών ενός δεδομένου ακέραιου – 5, 10, 15, 20 και ούτω καθεξής. Τα ιδανικά μπορούν να προστεθούν σε έναν ήδη διευρυμένο δακτύλιο αριθμών για την αποκατάσταση της μοναδικής παραγοντοποίησης. Επιτρέπουν στους μαθηματικούς να συμφιλιώσουν τους ανταγωνιστικούς πρωταρχικούς παράγοντες σε ένα μόνο σύνολο πρωταρχικών παραγόντων.
Η μοναδική πρωταρχική παραγοντοποίηση είναι ένας τρόπος κατασκευής ενός αριθμητικού συστήματος από θεμελιώδη δομικά στοιχεία. Χωρίς αυτό, οι αποδείξεις μπορούν να γίνουν διαρροές. Η ανάμιξη των ριζών με τους κανονικούς αριθμούς απέτυχε ως επίθεση στο τελευταίο θεώρημα του Fermat, αλλά όπως συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά, ο τρόπος με τον οποίο απέτυχε ήταν προκλητικός. Ξεκίνησε μια περιοχή έρευνας που ονομάζεται αλγεβρική θεωρία αριθμών.» https://www.quantamagazine.org/ :Kevin Hartnett : Senior Writer: March 2, 2017.
Το Χάος σαν Επιστήμη
«Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι χρειάζεται κανείς να προσδιορίσει τις αρχικές συνθήκες με απεριόριστη ακρίβεια, προκειμένου να προβλέψει πώς θα συμπεριφερθεί το σύστημα πέρα από έναν περιορισμένο “χρονικό ορίζοντα”. Στην πράξη μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με περιορισμένη ακρίβεια μόνο.»
Πρώτοι αριθμοί και Χάος
Στην καρδιά της αναλογίας υπάρχει μια κερδοσκοπία σχετικά με τα μηδενικά της συνάρτησης Zeta Riemann ( μια άπειρη ακολουθία αριθμού που κωδικοποιεί τους πρώτους ): τα μηδενικά Riemann σχετίζονται με τα ιδιοτιμές (συχνότητες δόνησης ή κβαντικές ενέργειες) κάποιου κυματικού συστήματος, το οποίο βασίζεται σε ένα δυναμικό σύστημα του οποίου οι ακτίνες ή οι τροχιές είναι χαοτικές.
Ο προσδιορισμός αυτού του δυναμικού συστήματος θα οδηγούσε άμεσα σε απόδειξη της περίφημης υπόθεσης Ρίμαν . Δεν γνωρίζουμε τι είναι το σύστημα, αλλά γνωρίζουμε πολλές από τις ιδιότητές του … “
MV Berry και JP Keating από το “The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics” , SIAM Review 41 , αρ. 2 (1999) 236–266
Στο άρθρο τους “Οι πρώτοι αριθμοί παραγγέλλονται τακτικά;” , τρεις θεωρητικοί του χάους της Αργεντινής θεώρησαν αυτή τη λειτουργία, την αντιμετώπισαν ως «σήμα» και υπολόγισαν τους εκθέτες του Liapunov. Αυτά υπολογίζονται γενικά για σήματα που προέρχονται από φυσικά φαινόμενα και επιτρέπουν σε κάποιον να αποφασίσει εάν ο υποκείμενος μηχανισμός είναι χαοτικός. Οι συγγραφείς καταλήγουν
“… δεν μπορεί να βρεθεί ένα κανονικό μοτίβο που περιγράφει την πρωταρχική κατανομή αριθμών. Επίσης, από φυσική άποψη, μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε φυσικό σύστημα του οποίου η δυναμική είναι άγνωστη αλλά ισομορφική ως προς την πρωταρχική κατανομή αριθμών έχει χαοτική συμπεριφορά.
Ένας φυσικός που έδειξε ότι το παραπάνω γράφημα μπορεί φυσικά να σκεφτεί να επιχειρήσει μια ανάλυση Fourier – δηλαδή για να δει αν αυτό το θορυβώδες σήμα μπορεί να αποσυντεθεί σε μια σειρά περιοδικών λειτουργιών ημιτονοειδών. Στην πραγματικότητα κάτι τέτοιο είναι πιθανό. Για να καταλάβουμε πώς, πρέπει να εξετάσουμε τη συνάρτηση Riemann zeta .
Η αντιπαραβολή αυτής της ιδιότητας με την προφανή «τυχαιότητα» του, Οι μεμονωμένες θέσεις των πρώτων δημιουργούν ένα είδος έντασης που μπορεί να παρατηρηθεί σε πολλούς δημοφιλείς-μαθηματικούς λογαριασμούς της κατανομής των πρώτων αριθμών . Έχουν χρησιμοποιηθεί επίθετα όπως “εκπληκτικό”, “εκπληκτικό”, “αξιοσημείωτο”, “εντυπωσιακό”, “όμορφο”, “εκπληκτικό” και “εκπληκτικό”. Ο Zagier καταγράφει τέλεια αυτήν την ένταση στο ίδιο άρθρο:
“Υπάρχουν δύο γεγονότα σχετικά με τη διανομή των πρωταρχικών αριθμών από τα οποία ελπίζω να σας πείσω τόσο συντριπτικά που θα χαραχθούν μόνιμα στις καρδιές σας. Το πρώτο είναι ότι, παρά τον απλό ορισμό και το ρόλο τους ως δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών, οι πρωταρχικοί αριθμοί … μεγαλώνουν σαν ζιζάνια μεταξύ των φυσικών αριθμών, φαίνεται ότι δεν υπακούουν σε κανέναν άλλο νόμο από αυτόν της τύχης, και κανείς δεν μπορεί να προβλέψει πού θα βγει ο επόμενος. Το δεύτερο γεγονός είναι ακόμη πιο εκπληκτικό, γιατί δηλώνει ακριβώς το αντίθετο : ότι οι πρώτοι αριθμοί εμφανίζουν εκπληκτική κανονικότητα, ότι υπάρχουν νόμοι που διέπουν τη συμπεριφορά τους και ότι υπακούουν σε αυτούς τους νόμους με σχεδόν στρατιωτική ακρίβεια.»
Τι είναι οι αριθμοί p -adic;
Οι λογικοί αριθμοί (όλοι οι θετικοί και αρνητικοί λόγοι των αριθμών μέτρησης) σχηματίζουν ένα πυκνό συνεχές στη γραμμή αριθμών, αλλά όχι ένα “κλειστό σύνολο”. Αποτελεσματικά υπάρχουν “τρύπες”, όπως οι γνωστοί παράλογοι αριθμοί π, e , √2 και φ (ο χρυσός μέσος όρος ) . Στην πραγματικότητα υπάρχουν πάρα πολλές τέτοιες “τρύπες”, και ο πιο γνωστός τρόπος για να “γεμίσετε” είναι να “συμπληρώσετε” τους λογικούς αριθμούς για να φτάσετε στους συνεχόμενους πραγματικούς αριθμούς , που περιλαμβάνουν όλους τους λογικούς και παράλογους αριθμούς, έναν κλειστό σειρά.
Ωστόσο, στη δεκαετία του 1890 ανακαλύφθηκε ότι υπάρχουν πάρα πολλοί άλλοι τρόποι για να “ολοκληρώσετε” το σύνολο των λογικών αριθμών, και καθένας από αυτούς παράγει ένα ριζικά διαφορετικό σύστημα αριθμών. Αποδεικνύεται ότι είναι ένα για κάθε πρώτο αριθμό και έχουν γίνει γνωστά ως τα συστήματα αριθμών 2-adic, 3-adic, 5-adic, 7-adic κ.λπ. Το κλειδί είναι να αλλάξετε τον τρόπο που καθορίζετε την απόσταση μεταξύ δύο λογικών αριθμών. Ο γνωστός τρόπος είναι να αφαιρέσετε τον μικρότερο αριθμό από τον μεγαλύτερο, να αποκτήσετε το είδος της απόστασης που σχετίζεται με τη συμβατική μέτρηση. Η προσέγγιση « p -adic» (όπου το p σημαίνει αυθαίρετο πρώτο) περιλαμβάνει την εξέταση της ίδιας διαφοράς (ένας λογικός αριθμός, που θεωρείται ότι είναι σε μορφή μειωμένου κλάσματος) και στη συνέχεια η ισχύς του p που εμφανίζεται στον αριθμητή ή τον παρονομαστή του. Με αυτόν τον τρόπο, δύο λογικοί αριθμοί που θα μπορούσαν να θεωρηθούν «κοντινοί» στο πραγματικό σύστημα αριθμών μπορούν να είναι τεράστιες αποστάσεις εκτός από ένα σύστημα p -adic (και αντίστροφα ).
Σφάλμα εκτίμησης κατανομής
Σπάνια σκεφτόμαστε τους παλιούς φυσικούς αριθμούς ως μέρος για τυχαία ή τυχαία. Πολλά από τα μαθηματικά μπορεί να φαίνονται αξεπέραστα, αλλά οι αριθμοί ξεχύνονται, γνωστοί και εξοικειωμένοι, με κόκκους που αποτελούν ένα μαθηματικό άλας της γης. Παρ ‘όλα αυτά, η κατανοητή πτυχή των φυσικών αριθμών είναι η πρόσθετη δομή τους. Η μετάβαση από έναν αριθμό στον άλλο με προσθήκη ή αφαίρεση δεν δημιουργεί μυστήρια. Μόνο όταν αρχίσουμε να σκεφτόμαστε τα πράγματα πολλαπλασιαστικά αρχίζει το πρόβλημα και μπαίνουν οι εκπλήξεις. Σε μια πρόσφατη διάλεξη MSRI, ο Σαρνάκ συζητά τους τρόπους με τους οποίους η πιθανότητα και τα στατιστικά στοιχεία, οι πιθανότητες, βοηθούν στην αποκάλυψη ορισμένων από τα πρωταρχικά μυστήρια.
Οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι τα βασικά πολλαπλασιαστικά δομικά στοιχεία και υπάρχει ακόμη πολλή δουλειά σε εξέλιξη για να κατανοήσουμε τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται μεταξύ των φυσικών αριθμών. Καθώς τα καταγράφετε, φαίνεται να πέφτουν τυχαία: 2,3,5,7,11,13, …. Από την εποχή του Ευκλείδη γνωρίζουμε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρώτων. Η απόδειξή του είναι εύκολο να επαναδιατυπωθεί. Δεδομένης οποιασδήποτε πεπερασμένης συλλογής των πρώτων, τότε ο αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί από κανένα , οπότε πρέπει να διαιρείται από τους πρώτους και όχι από αυτό το σύνολο. Λοιπόν, δεδομένου οποιουδήποτε πεπερασμένου σετ πρώτων, αυτό παράγει ένα διαφορετικό πρώτο, οπότε κανένα πεπερασμένο σύνολο των πρώτων δεν μπορεί να είναι πλήρες, επομένως πρέπει να υπάρχει ένας άπειρος αριθμός.
«Η γνώση ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός είναι μόνο η αρχή. το επόμενο βήμα είναι να ποσοτικοποιηθεί αυτό.»
“Εάν επιλέξετε έναν αριθμό n και ρωτήσετε πόσους πρώτους αριθμούς υπάρχουν λιγότεροι από n αποδεικνύεται ότι η απάντηση προσεγγίζει τον τύπο: n / log n . Ο τύπος δεν είναι ακριβής, ωστόσο: μερικές φορές είναι λίγο υψηλός και μερικές φορές είναι λίγο χαμηλό. Ο Ρίμαν εξέτασε αυτές τις αποκλίσεις και είδε ότι περιείχαν περιοδικότητες. Ο Berry τα παρομοιάζει με τις μουσικές αρμονικές: “Το ερώτημα είναι ποιες είναι οι αρμονικές στη μουσική των πρώτων; Εκπληκτικά, αυτές οι αρμονικές ή οι μαγικοί αριθμοί συμπεριφέρονται ακριβώς όπως τα επίπεδα ενέργειας στα κβαντικά συστήματα που κλασικά θα ήταν χαοτικά.” Αυτή η αντιστοιχία προκύπτει από στατιστικούς συσχετισμούς μεταξύ της απόστασης των αριθμών Riemann και της απόστασης των επιπέδων ενέργειας.
Ο Berry και ο συνεργάτης του Jon Keating τα χρησιμοποίησε για να δείξει πώς μπορούν να εφαρμοστούν τεχνικές στη θεωρία αριθμών σε προβλήματα στο κβαντικό χάος και το αντίστροφο. Από μόνη της μια τέτοια σύνδεση είναι πολύ δελεαστική. Αν και μερικές φορές περιγράφεται ως βασίλισσα των μαθηματικών, η θεωρία αριθμών θεωρείται συχνά πολύ άχρηστη, οπότε αυτή η βαθιά σύνδεση με τη φυσική είναι αρκετά εκπληκτική.
Ο Μπέρι είναι επίσης πεπεισμένος ότι πρέπει να υπάρχει ένα συγκεκριμένο χαοτικό σύστημα, το οποίο όταν κβαντιστεί θα έχει επίπεδα ενέργειας που θα αντιγράφουν ακριβώς τους αριθμούς Ρίμαν. “Η εύρεση αυτού του συστήματος θα μπορούσε να είναι η ανακάλυψη του αιώνα”, λέει. Θα γίνει ένα πρότυπο σύστημα για την περιγραφή χαοτικών συστημάτων με τον ίδιο τρόπο που ο απλός αρμονικός ταλαντωτής χρησιμοποιείται ως μοντέλο για όλα τα είδη περίπλοκων ταλαντωτών. Θα μπορούσε να διαδραματίσει θεμελιώδη ρόλο στην περιγραφή όλων των ειδών του χάους. Η αναζήτηση αυτού του μοντέλου συστήματος θα μπορούσε να είναι το ιερό δισκοπότηρο του χάους … [Δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για τις ιδιότητές του, αλλά ο Berry πιστεύει ότι το σύστημα είναι μάλλον απλό και αναμένει ότι θα οδηγήσει σε εντελώς νέα φυσική. Είναι μια δελεαστική σκέψη. “Julian Brown, “Where Two Worlds Meet” , Νέος Επιστήμονας, 16 Μαΐου 1996.
Μαθηματικοί φυσικοί ανακοίνωσαν πρόοδο σε ένα θεώρημα 150 ετών, για το οποίο το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay προσφέρει ένα βραβείο εκατομμυρίων δολαρίων. Οι επιστήμονες παρουσίασαν έναν τελεστή που ικανοποιεί την εικασία Hilbert-Poya, η οποία δηλώνει ότι υπάρχει ένας διαφορικός τελεστής του οποίου ιδιοτιμές αντιστοιχούν ακριβώς στα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. Το άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Physical Review Letters.
Η θεωρία συναρτήσεων προβλέπει ότι το σύνολο των μη τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης ζήτα θα πρέπει να είναι παρόμοιο με το σύνολο των ιδιοτιμών (“λύσεις” για εξισώσεις μήτρας) κάποια άλλη συνάρτηση από την κατηγορία των διαφορικών τελεστών που χρησιμοποιούνται συχνά στη φυσική. Η ιδέα της ύπαρξης ενός συγκεκριμένου τελεστή με τέτοιες ιδιότητες ονομάστηκε εικασία Hilbert-Poya, αν και ούτε ο ένας ούτε ο άλλος δημοσίευσαν εργασίες σχετικά με αυτό το θέμα. «Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν δημοσιεύσεις «συγγραφέων» για αυτό το θέμα, η διατύπωση της υπόθεσης αλλάζει ανάλογα με την ερμηνεία», εξηγεί ένας από τους συγγραφείς του άρθρου, ο Ντόρτζε Μπρόντι του Πανεπιστημίου Brunel στο Λονδίνο. – Ωστόσο, πρέπει να πληρούνται δύο σημεία: α) είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας τελεστής του οποίου οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν σε μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα και β) να καθοριστεί ότι οι ιδιοτιμές είναι πραγματικοί αριθμοί. Ο κύριος στόχος της δουλειάς μας ήταν το σημείο α). Απαιτείται περαιτέρω εργασία για την απόδειξη του μέρους β).
Τελεστής
« Ο τελεστής στα μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς την κατά ένα καθορισμένο τρόπο. Μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης, καθώς οι συναρτήσεις δρουν συνήθως πάνω σε μεμονωμένα «αντικείμενα», ενώ ένας τελεστής μπορεί να δράσει πάνω στη «μορφή» μιας συνάρτησης ως σύνολο και να δώσει μια άλλη συνάρτηση.» Βικιπαίδεια
«Στοιχειώδεις μέθοδοι ή μη ».
«Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος που προσέγγισε ο Τσέμπισεφ αυτό το πρόβλημα. Κατέληξε στα συμπεράσματά του χωρίς να χρησιμοποιήσει καθόλου θεωρία μιγαδικών συναρτήσεων, κάτι που οι μαθηματικοί περιγράφουν συνήθως λέγοντας ότι ο Τσέμπισεφ χρησιμοποίησε «στοιχειώδεις μεθόδους». Στο άρθρο του το 1859,για να αντιμετωπίσει τα προβλήματα που διερευνούσε ,ο Ρίμαν δεν χρησιμοποίησε στοιχειώδεις μεθόδους, αλλά τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων σε πλήρη ανάπτυξη. Τα αποτελέσματα στα οποία κατέληξε ήταν τόσο εντυπωσιακά , ώστε και οι άλλοι μαθηματικοί τον μιμήθηκαν και το ΘΠΑ τελικά αποδείχτηκε με χρήση των «μη στοιχειωδών» μεθόδων του Ρίμαν.
Το πρόβλημα , αν είναι εφικτή μια απόδειξη της ΘΠΑ με στοιχειώδεις μεθόδους παρέμεινε ανοικτό, ύστερα όμως από μερικές δεκαετίες η γενική τάση θεωρούσε μια τέτοια απόδειξη αδύνατη. Έτσι στο «Η κατανομή των πρώτων αριθμών», ένα κείμενο που δημοσίευσε το 1932 ο Άλμπερτ Ίνγκαμ, ο συγγραφέας αναφέρει σε μια υποσημείωση : «Μια απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών μέσω ¨πραγματικών μεταβλητών¨, δηλαδή μια απόδειξη που να μην συμπεριλαμβάνει άμεσα ή έμμεσα αναφορές στην έννοια της αναλυτικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής , δεν ανακαλύφθηκε ποτέ και είναι κατανοητό το γιατί…» Σελ.176: JOHN DERBYSHIRE – ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ.
Ή : «Ίσως υπάρχει μια εναλλακτική άποψη» για να κατανοήσουμε αυτούς τους αινιγματικούς αριθμούς;
“Ίσως έχουμε μείνει τόσο κρεμασμένοι να κοιτάμε τα πρωτεύοντα (πρώτους αριθμούς) από την οπτική του Γκάους και του Ρίμαν και ότι αυτό που μας λείπει είναι απλά ένας διαφορετικός τρόπος για να κατανοήσουμε αυτούς τους αινιγματικούς αριθμούς. Ο Γκάους έκανε μια εκτίμηση για τον αριθμό των πρώτων, ο Ρίμαν προέβλεψε ότι η εικασία είναι στη χειρότερη περίπτωση, η τετραγωνική ρίζα του Ν από το σημάδι της, ο Λίτλγουντ έδειξε ότι δεν μπορείς να το κάνεις καλύτερα από αυτό. Ίσως υπάρχει μια εναλλακτική άποψη που κανείς δεν έχει βρει γιατί έχουμε δεθεί τόσο πολιτιστικά με το σπίτι που έκτισε ο Γκάους. ” (σελ.312.) Το πρόσφατο βιβλίο του καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, Marcus du Sautoy, The Music of the Primes (Fourth Estate, 2003) περιέχει έναν πλούτο σχετικών αποσπασμάτων.
Γιαννούλας Νίκος
Καλαμπάκα Νοέμβριος 2022
