Αριθμητικές Πρόοδοι πρώτων αριθμών: Θεώρημα Dirichlet – Θεώρημα Green Tao .
Θεώρημα του Dirichlet :
Θεώρημα: «Απόδειξη του θεωρήματος ότι κάθε μη φραγμένη αριθμητική πρόοδος , που ο πρώτος όρος της και η διαφορά είναι ακέραιοι αριθμοί χωρίς κοινό παράγοντα, περιέχει άπειρο πλήθος πρώτων αριθμών».
«Πολλές εφαρμογές χρησιμοποιούν τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για σειρές Dirichlet ή συναρτήσεις ζήτα αριθμητικών πεδίων παρά απλώς την υπόθεση Ρίμαν. Πολλές βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα μπορούν εύκολα να γενικευθούν σε όλες τις σειρές Dirichlet, έτσι είναι πιθανό ότι μια μέθοδος που αποδεικνύει την υπόθεση Ρίμαν για τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν θα δούλευε επίσης για την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για Dirichlet συναρτήσεις.»
Θα πρέπει επίσης να ισχύει το θεώρημα του Dirichlet «οι πρώτοι είναι κατανεμημένοι ομοιόμορφα μεταξύ των κλάσεων υπολοίπων [a] modulo n με ΜΚΔ(a,n)=1. Αυτό είναι ισχυρότερο από το θεώρημα του Ντιρικλέ για τις αριθμητικές προόδους το οποίο απλώς αναφέρει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι σε κάθε κλάση»
Θεώρημα του Dirichlet
Στη θεωρία αριθμών , το θεώρημα του Dirichlet , που ονομάζεται επίσης θεώρημα των πρώτων αριθμών Dirichlet , δηλώνει ότι για οποιουσδήποτε δύο θετικούς συνπρώτους ακέραιους αριθμούς a και d , υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής a + nd , όπου n είναι επίσης θετικός ακέραιος. Με άλλα λόγια, υπάρχουν άπειροι πρώτοι που είναι σύμφωνοι με ένα modulo d . Οι αριθμοί της μορφής a + nd σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.
και το θεώρημα του Dirichlet δηλώνει ότι αυτή η ακολουθία περιέχει άπειρους πρώτους αριθμούς. Το θεώρημα, που πήρε το όνομά του από τον Peter Gustav Lejeune Dirichlet , επεκτείνει το θεώρημα του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Οι ισχυρότερες μορφές του θεωρήματος του Dirichlet δηλώνουν ότι για οποιαδήποτε τέτοια αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών στην πρόοδο αποκλίνει και ότι διαφορετικές τέτοιες αριθμητικές προόδους με τον ίδιο συντελεστή έχουν περίπου τις ίδιες αναλογίες πρώτων. Ισοδύναμα, οι πρώτοι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι (ασυμπτωτικά) μεταξύ των τάξεων συνάφειας modulo d που περιέχουν το a ‘s coprime στο d .
Εφόσον οι πρώτοι λεπταίνουν, κατά μέσο όρο, σύμφωνα με το θεώρημα των πρώτων αριθμών , το ίδιο πρέπει να ισχύει και για τους πρώτους στις αριθμητικές προόδους. Είναι φυσικό να ρωτάμε για τον τρόπο με τον οποίο μοιράζονται οι πρώτοι μεταξύ των διαφόρων αριθμητικών προόδων για μια δεδομένη τιμή του d (υπάρχουν d από αυτές, ουσιαστικά, αν δεν διακρίνουμε δύο προόδους που μοιράζονται σχεδόν όλους τους όρους τους). Η απάντηση δίνεται με αυτή τη μορφή: ο αριθμός των εφικτών προόδων modulo d — εκείνων όπου το a και το d δεν έχουν κοινό παράγοντα > 1 — δίνεται από τη συνάρτηση totient του Euler. Από την Βικιπαίδεια:
Θεώρημα Green–Tao
Στη θεωρία αριθμών , το θεώρημα Green–Tao , που αποδείχθηκε από τους Ben Green και Terence Tao το 2004, δηλώνει ότι η ακολουθία των πρώτων αριθμών περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους . Με άλλα λόγια, για κάθε φυσικό αριθμό k , υπάρχουν αριθμητικές προόδους πρώτων με k όρους. Η απόδειξη είναι μια επέκταση του θεωρήματος του Szemerédi .
Η απόδειξη του θεωρήματος Green–Tao δεν δείχνει πώς να βρούμε τις αριθμητικές προόδους των πρώτων. αποδεικνύει απλώς ότι υπάρχουν . Έχει γίνει ξεχωριστή υπολογιστική εργασία για να βρεθούν μεγάλες αριθμητικές προόδους στους πρώτους.
Στις 18 Ιανουαρίου 2007, ο Jarosław Wróblewski βρήκε την πρώτη γνωστή περίπτωση 24 πρώτων αριθμών στην αριθμητική πρόοδο : 468.395.662.504.823 + 205.619 · 223.092.870 · n , για n = 0 έως 23.
Η σταθερά 223.092.870 εδώ είναι το γινόμενο 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 των πρώτων αριθμών μέχρι το 23, πιο συμπαγή γραμμένο 23# σε Πρωταρχική παραγοντοποίηση.Από την Βικιπαίδεια:
Πρωταρχική παραγοντοποίηση
Στα μαθηματικά , και πιο συγκεκριμένα στη θεωρία αριθμών , η πρωταρχική , που συμβολίζεται με “#”, είναι μια συνάρτηση από φυσικούς αριθμούς σε φυσικούς αριθμούς παρόμοια με την παραγοντική συνάρτηση, αλλά αντί να πολλαπλασιάζει διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, η συνάρτηση πολλαπλασιάζει μόνο πρώτους αριθμούς .
Αριθμητικές πρόοδοι πρώτων αριθμών.
Θεώρημα του Dirichlet
Θεώρημα Green–Tao
ΟΙ άπειρες αριθμητικές πρόοδοι που υπάρχουν «ταξινομούνται» και με βάση το ποσοστό αναλογίας μεταξύ σύνθετων αριθμών και πρώτων αριθμών στο άπειρο σύνολο των όρων της κάθε μη φραγμένης αριθμητικής προόδου . Πως δημιουργούνται και πως κατανέμονται οι Α.Π που έχουν σαν όρους το ελάχιστο ποσοστό σύνθετων αριθμών και το μέγιστο ποσοστό πρώτων αριθμών. Δηλαδή υπάρχει συγκεκριμένος αριθμός για κάθε κατηγορία μη φραγμένων αριθμητικών προόδων που έχουν όλες τα ίδια χαρακτηριστικά και το ίδιο μέγεθος.
- Ο κάθε πρώτος αριθμός δημιουργεί το δικό του μοτίβο μη φραγμένων αριθμητικών προόδων.
- Άπειρο πλήθος όρων της κάθε μη φραγμένης αριθμητικής προόδου..
- Άπειρο πλήθος πρώτων αριθμών που ισοκατανέμονται μεταξύ των μη φραγμένων αριθμητικών προόδων της ίδιας κατηγορίας.
- Άπειρο πλήθος σύνθετων αριθμών που και αυτοί ισοκατανέμονται.
- Η κάθε κατηγορία έχει πεπερασμένο συγκεκριμένο αριθμό μη φραγμένων αριθμητικών προόδων όλες μεταξύ τους με τις ίδιες ιδιότητες.
- Όσο μεγαλώνουν οι πρώτοι αριθμοί τα μοτίβα τους δημιουργούν περισσότερες σε πλήθος μη φραγμένες αριθμητικές προόδους και οι όροι τους περιέχουν σαν αναλογία περισσότερους πρώτους αριθμούς και λιγότερους σύνθετους αριθμούς.
- Η κατανομή αυτών των μη φραγμένων αριθμητικών προόδων καθώς και πόσες μπορούν να υπάρχουν σε κάθε μοτίβο πρώτων αριθμών, και τα ποσοστά πρώτων και σύνθετων αριθμών καθορίζονται ακριβώς από τον γενικό περιοδικό πίνακα κατανομής των πρώτων αριθμών.
- Για την κάθε κατηγορία υπάρχει και ο αντίστοιχος περιοδικός πίνακας κατανομής πρώτων αριθμών, σύνθετων αριθμών και πόσες μη φραγμένες αριθμητικές πρόοδοι μπορούν να δημιουργηθούν.
Η αναλυτική παρουσίαση θα γίνει όταν θα δημοσιευτούν οι παραπάνω 1-8 επισημάνσεις , συμπεράσματα.