ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΩΝ
“Πολλαπλάσια ενός θετικού ακεραίου αριθμού α ονομάζονται όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν όταν αυτός πολλαπλασιαστεί με όλους τους άλλους θετικούς ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή, πολλαπλάσια του α είναι οι αριθμοί : α, 2α, 3α, 4α, . Κάθε θετικός ακέραιος αριθμός (ή φυσικός αριθμός που δεν είναι μηδέν) διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του, ενώ αν ο ίδιος διαιρείται από κάποιον άλλον, τότε είναι πολλαπλάσιο αυτού του αριθμού. Επίσης, εάν διαιρεί έναν άλλον, τότε θα διαιρεί και τα πολλαπλάσια του άλλου αριθμού. Από τα πολλαπλάσια που είναι κοινά για δύο ή περισσότερους θετικούς ακέραιους αριθμούς, ονομάζουμε το μικρότερο από αυτά ως ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β, …, κ συμβολίζεται με ΕΚΠ (α, β, …, κ).
Κάθε αριθμός α έχει πάντοτε διαιρέτες τον εαυτό του, α, και τη μονάδα, δηλ. τον αριθμό 1. Εάν έχει μόνον αυτούς, αποκαλείται πρώτος αριθμός, αλλιώς λέγεται σύνθετος. Σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών (παραγοντοποίηση).
Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή και περισσοτέρων, όχι απαραίτητα διαφορετικών, πρώτων αριθμών. Αυτό καλείται θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής .” Βικιπαίδεια.
Εννοιολογικά η λέξη μοτίβο :
1.Επαναλαμβανόμενο «δομοστοιχείο».
2.Γενικό πλάνο που συνήθως αποτελείται από γεωμετρικά , αριθμητικά συναφή μέρη. Βικιλεξικό.
Δομή φυσικών αριθμών
Το δομοστοιχείο των φυσικών αριθμών είναι η αναλογία. Με βάση την μεταξύ των αναλογία δημιουργείται το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών. Τα πολλαπλάσια κάθε πρώτου αριθμού αποτελούν το δομοστοιχείο σύνθετοι αριθμοί που προκύπτουν από μια σταθερή επαναλαμβανόμενη αναλογία. 3+3+3…κ.ο.κ. 3Χ5=15 και 15+15+15…κ.ο.κ.
Στον πίνακα 1 κάτω οι μονοί αριθμοί 1=209 χωρίς την οπτική εμφάνιση των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 3,5,7 μοιάζει ένα άμορφο σύνολο αριθμών.
Στον πίνακα 2 με την προσθήκη (επισήμανση χρωματική) των σύνθετων αριθμών πολλαπλάσια των 3,5,7 μορφοποιείται ένα άμορφο σύνολο αριθμών σε μια δομημένο μοτίβο . Τοποθετώντας τους αριθμούς σε ένα μοτίβο συμμετρικά κατοπτρικό ως προς τα πολλαπλάσια του 3 και 5 ήτοι 3Β (2Χ3Χ5)=30 αριθμών το σύνολο αποκτά και μια κατοπτρική συμμετρία ως προς στους σύνθετους αριθμούς που είναι κοινά πολλαπλάσια του 3,5 ήτοι 15,45,75,105…
Επεκτείνοντας το αρχικό συμμετρικό μοτίβο 1-29 έως τον αριθμό 209 (2Χ3Χ5Χ7=210) αποκτούν και τα πολλαπλάσια του 7 κατοπτρική συμμετρία με όλα τα υπόλοιπα πολλαπλάσια των 3,5 με κατοπτρικό μέσο τον 3Χ5Χ7=105 πίνακας 2.
Το ποιο απλό αλλά το αρχικό βασικό κατοπτρικά συμμετρικό μοτίβο 3Β (2Χ3Χ5=30) πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 3,5.
3Β 3,5 : (2Χ3Χ5=30)
Η κάθε στήλη αριθμών αποτελεί ένα κατοπτρικά συμμετρικό μοτίβο όλων των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 3 και 5 ως προς τον κατοπτρικό μέσο 15 , όλοι οι κατοπτρικοί μέσοι με ροζ χρώμα. Ας κρατήσουμε εδώ ότι στην πρώτη στήλη εκτός των πολλαπλασίων των 3,5 όλοι οι πράσινοι αριθμοί είναι πρώτοι αριθμοί. Αφού τα πολλαπλάσια είναι σε κατοπτρική συμμετρία και οι πρώτοι αριθμοί που περιέχονται είναι και αυτοί σε συμμετρία και μάλιστα κατοπτρική !!!!!!
3Β (2Χ3Χ5)= 30Χ3=90
Για να κλείσει ο κάθε κύκλος πολλαπλασίων του κάθε πρώτου αριθμού σε αυτό το μοτίβο 3Β θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με όλους τους αριθμούς της πρώτης στήλης 1-29 δηλαδή 3Χ29=87 μέχρι τον αριθμό 87 ο 3 έχει 15 πολλαπλάσια (κίτρινα).
3Β (2Χ3Χ5)=30Χ5=150 : 5Χ29=145 το ίδιο με τον 5 μέχρι τον αριθμό 145 ο πρώτος αριθμός 5 έχει 15 πολλαπλάσια (μπλε) .
Με βάση αυτό το αρχικό συμμετρικά κατοπτρικό μοτίβο 3Β (2Χ3Χ5=30) θα δούμε πως κατανέμονται και τα αντίστοιχα πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών έως και τον 31 , (31Χ29=899) είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που μπορεί να μας δώσει ένα πλήρη κύκλο πολλαπλασίων του έως τον αριθμό 1000 καθώς ο επόμενος πρώτος 37Χ29=1073.
Η παρουσίαση είναι απλή δεν χρειάζονται εξηγήσεις και ισχύουν για όλα τα πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών οι ίδιες επισημάνσεις.
Σαν παράδειγμα επισημάνσεων το μοτίβο των πολλαπλασίων του πρώτων αριθμών 3,5 και 7.
ΜΟΤ 3,5,7: 2Χ3Χ5Χ7=210
- Από το 1-419 έχουμε δύο συνεχόμενα πλήρη μοτίβα των πολλαπλασίων των 3,5,7 που το κάθε ένα είναι κατοπτρικά συμμετρικό. 1-209 και 211- 419. Το αρχικό μοτίβο 1-209 επαναλαμβάνεται το ίδιο κάθε 210 αριθμούς συνεχώς έως το άπειρο.
- Κατοπτρικά συμμετρικά είναι μόνο τα μοτίβα 210 αριθμών που είναι επανάληψη του αρχικού.
- Όλα μοτίβα μεγέθους 210 αριθμών όπως παραπάνω π.χ από 31+210 = 241 περιέχουν μεν τον ίδιο ακριβώς αριθμό πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών που το δημιουργούν αλλά κανένα από αυτά δεν έχει καν συμμετρία πολλαπλασίων όπως το αρχικό.
- Στις τελευταίες δύο σειρές εμφανίζεται το σύνολο των πολλαπλασίων της κάθε στήλης του 7 (κόκκινο χρώμα = 15 πολλαπλάσια ) μέχρι να κλείσει ο κύκλος του κάθε μοτίβου 210 αριθμών.
- Στην προτελευταία στήλη και τα 15 πολλαπλάσια κατανέμονται με κατοπτρική συμμετρία ως προς τους κατοπτρικούς μέσους 105 και 315 των δύο συνεχόμενων κατοπτρικών μοτίβων .
- Στην τελευταία σειρά έχουμε τον ίδιο αριθμό πολλαπλασίων ήτοι 15 πολλαπλάσια σε μέγεθος 210 αριθμών αλλά δεν υπάρχει συμμετρία.
- Με αυτό το μοτίβο 3Β ανάπτυξης μπορούμε να έχουμε κατοπτρικά συμμετρικά μοτίβα μόνο για μοτίβα που περιέχουν συσχέτιση των πολλαπλασίων 3,5 και ενός μόνο άλλου πρώτου αριθμού, που το μέγεθος θα προκύπτει από την παραγοντοποίηση των πρώτων αριθμών (2Χ3Χ5)Χ7=210 ή π.χ (2Χ3Χ5)Χ11= 330 κ.ο.κ. ή 13, ή 23.
- Αν θέλουμε αντίστοιχα κατοπτρικά συμμετρικά για πολλούς πρώτους αριθμούς αυτά προκύπτουν από μεγέθη αριθμών που προκύπτουν από την παραγοντοποίησή τους. Έτσι για τους πρώτους αριθμούς 3,5,7,11 το μοτίβο θα πρέπει να μεγαλώσει 2Χ3Χ5Χ11=2310 με κοινό κατοπτρικό μέσο τον 1155 που είναι κοινό πολλαπλάσιό τους. Θα δώσω λίγα παραδείγματα για αυτά τα μοτίβα γιατί είναι απλά αλλά απαραίτητα στην κατανόηση της λειτουργίας των πολλαπλασίων που είναι η βάση για την κατανόηση των πρώτων αριθμών αλλά όχι η δομή των πρώτων αριθμών. Αυτή τη δομή θα την παρουσιάσουμε στην δημοσίευση της κατανομής των πρώτων αριθμών σύντομα και εκεί τα μοτίβα θα γίνουν από απλά, περίπλοκα και μετά πολύπλοκα και σχεδόν χαοτικά , αλλά οι συμμετρίες παραμένουν .
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7- 31
ΜΟΤ 3,5,7,: 210 (2Χ3Χ5Χ7)
Σε κάθε μοτίβο οι δύο τελευταίες σειρές είναι η κατανομή των πολλαπλασίων κάθε πρώτου αριθμού. Στην προτελευταία σειρά τα πολλαπλάσια είναι σε κατοπτρική συμμετρία . Στην τελευταία σειρά δεν υπάρχει συμμετρία. Και στα δύο μοτίβα ο αριθμός των πολλαπλασίων είναι ο ίδιος 15.
ΜΟΤ 3,5,11 : 330 (2Χ3Χ5Χ11)
ΜΟΤ 3,5,13 : 390 (2Χ3Χ5Χ13)
ΜΟΤ 3,5,17 : 510 (2Χ3Χ5Χ17)
ΜΟΤ 3,5,19 : 570 (2Χ3Χ5Χ19)
ΜΟΤ 3,5,23 : 690 (2Χ3Χ5Χ23)
ΜΟΤ 3,5,29 : 870 (2Χ3Χ5Χ29)
ΜΟΤ 3,5,31 : 930 (2Χ3Χ5Χ31)
Αν συνθέσουμε όλα αυτά τα απλά και συμμετρικά μοτίβα των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 3-31 έως τον αριθμό 1000 παρουσιάζεται η εικόνα κάτω. Με πράσινο χρώμα όλοι οι πρώτοι αριθμοί έως τον αριθμό 1000 και με κόκκινο χρώμα όλα τα πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών οι σύνθετοι αριθμοί.
Οπτικά τουλάχιστον μάλλον μια χαοτική εικόνα παρουσιάζεται και όχι συμμετρίας.
Αν επιλέξουμε το πρώτο (1- 209 ) συμμετρικό μοτίβο βλέπουμε πως με λευκό χρώμα είναι σύνθετοι αριθμοί και άρα οι αντίστοιχοι πρώτοι αριθμοί του πρώτου μισού κατοπτρικού μοτίβου δεν βρίσκονται σε συμμετρία με πρώτους αριθμούς. Και δεύτερο οι αρχικοί πρώτοι αριθμοί 3.5.7 στο δεύτερο μισό βρίσκονται τα αντίστοιχα πολλαπλάσιά τους σύνθετοι αριθμοί. Δηλαδή από τους 46 πρώτους αριθμούς δεν έχουν συμμετρία σύνολο 8 πρώτοι αριθμοί.
Δεν θα επεκταθούμε σε παραπάνω ανάλυση γιατί όπως αναφέραμε τα πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών δεν αποτελούν το δομικό στοιχείο της κατανομής των πρώτων αριθμών , αλλά μια απαραίτητη “σπουδή” αναγκαία για την κατανόηση της πραγματικής δομή των. Βέβαια η ανάλυση που αφορά την δομή των πρώτων αριθμών θα είναι εκτεταμένη και ενδελεχής.
