Prime numbers : Mersenne – Fermat

ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΣΕΝ – ΦΕΡΜΑ

Από την Βικιπαίδεια:

Στα μαθηματικά πρώτος Μερσέν ονομάζεται ένας πρώτος αριθμός της μορφής 2ⁿ-1{\displaystyle 2^{p}-1}. Ο νιοστός πρώτος αυτής της μορφής συμβολίζεται με Μ_ν {\displaystyle M_{\nu }}. Οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν έτσι προς τιμήν του Γάλλου θεολόγου και μαθηματικού Μαρέν Μερσέν. Σήμερα ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι πρώτος Μερσέν και είναι ο 2^82589933 − 1, ο οποίος έχει  4.862.048 ψηφία. Οι αρχικοί αριθμοί Μερσέν είναι:3,7,31,127,8191.

Στα μαθηματικά, αριθμός Φερμά είναι ένας φυσικός αριθμός της μορφής: {\displaystyle F_{n}=2^{(2^{n})}+1} F_n=2^(2ⁿ)+1   όπου n είναι επίσης φυσικός αριθμός. Οι αριθμοί Φερμά πήραν το όνομά τους από τον Πιερ ντε Φερμά, ο οποίος ήταν ο πρώτος που μελέτησε τους αριθμούς αυτούς. Οι αρχικοί αριθμοί Φερμά είναι:

3, 5, 17, 257, 65.537, 4.294.967.297, 

Οι αριθμοί Μερσέν – Φερμά ανήκουν στην ίδια κατηγορία (ακολουθία) αριθμών μαζί με άπειρους παρόμοιου τύπου και προκύπτουν από τις δυνάμεις των ζυγών αριθμών, 2ⁿ,4ⁿ, 6^n….±1,3,5,7,..∞.

Οι αριθμοί Μερσέν – Φερμά ειδικά είναι οι «δύο όψεις του ιδίου νομίσματος», δηλαδή 2ⁿ±1 των δυνάμεων του αριθμού 2ⁿ±1.

Οι αριθμοί Μερσέν των μονών δυνάμεων του  2ⁿ – 1 , ήτοι  2¹=2-1=1  , 2²=4­-1=3, 2³=8-1=7, 2⁵=32-1=31 εκτός του 3 κ.ο.κ

Οι αριθμοί Φερμά των ζυγών δυνάμεων του 2ⁿ +1 ,ήτοι 2¹=2+1=3, 2²=4­+1=5 , 2⁴=16+1=17 εκτός του 3  κ.ο.κ. Ενδιαφέρον έχει ο πρώτος αριθμός 3 που είναι κοινός και για τους δύο αριθμούς.

Οι αριθμοί Μερσέν έχουν ως τελευταίο ψηφίο τους 1,7 .

Οι αριθμοί Φερμά έχουν ως τελευταίο ψηφίο μόνο το 7.

Οι αριθμοί Μερσέν – Φερμά πολύ γρήγορα μειώνονται πιο γρήγορα οι αριθμοί Φερμα. Τα βασικά ερωτήματα μπορεί να τεθούν ως εξής.

1. Γιατί αυτοί οι αριθμοί έχουν ως τελευταία ψηφία 1,7.
2. Γιατί μειώνονται τόσο γρήγορα.
3. Μπορεί να προβλεφτεί που μπορεί να βρίσκεται ένας πρώτος αριθμός του είδους αντί να αναζητούμε πολλούς αριθμούς. Υπάρχει ένα μοτίβο που να μας βοηθάει πολύ πολύ επιλεκτικά που μπορεί να βρίσκεται ένας τέτοιος πρώτος αριθμός.
4. Γιατί οι αριθμοί αυτοί βρίσκονται οι μεν μόνο στις μονές δυνάμεις οι δε μόνο στις ζυγές δυνάμεις του  2ⁿ±1.

Όλες οι απαντήσεις βρίσκονται στο μοτίβο της κατανομής των πρώτων αριθμών.

Ένας συνοπτικός πρώτος πίνακας των πρώτων αριθμών Μερσέν – Φερμά.