Όλοι οι φυσικοί αριθμοί (πρώτοι και σύνθετοι) η κοινή βασική ιδιότητα που έχουν μεταξύ τους είναι μια σχέση αναλογίας.
Αναλογία .Στα μαθηματικά δυο μεγέθη καλούνται ανάλογα όταν οι τιμές τους του ενός είναι πολλαπλάσια των τιμών του άλλου, δηλαδή όταν οι αντίστοιχες τιμές των δύο μεγεθών έχουν σταθερό λόγο. .Βικιπαίδεια
Ο λόγος 2:3 (“δυο προς τρία”) σημαίνει ότι το όλον περιλαμβάνει 2 από ένα μέρος και 3 από άλλο. .Βικιπαίδεια
Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων. Βικιπαίδεια .
Εννοιολογικά η λέξη μοτίβο :
1.Επαναλαμβανόμενο «δομοστοιχείο».
2.Γενικό πλάνο που συνήθως αποτελείται από γεωμετρικά , αριθμητικά συναφή μέρη. Βικιλεξικό.
ΜΟΤΙΒΑ
Μπορούμε να σχηματίσουμε διάφορα μοτίβα ανάλογα με τις υποθέσεις που θέλουμε να διερευνήσουμε. Στο θεώρημα των πρώτων αριθμών όλα τα προβλήματα, υποθέσεις,εικασίες, θεωρίες είναι προβλήματα σχέσεων (αναλογιών) των αριθμών, επομένως μπορούν να αποτυπωθούν και σε αριθμητικο- γεωμετρικά μοτίβα.
Αναλυτικά τα μοτίβα της κάθε κατηγορίας θα εμφανιστούν στις επί μέρους ενότητες (μοτίβα πρώτων αριθμών ,πολλαπλασίων, Ρίμαν, Γκόλντμπαχ, διδύμων κ.λ.π).
Σε αυτή την ενότητα τα βασικά μοτίβα των φυσικών αριθμών.
Το μοτίβο των φυσικών αριθμών είναι αναλογικό αριθμητικό (1,3,5…) και όταν προσδιορίσουμε και ένα μέτρο γίνεται αναλογικό αριθμογεωμετρικό.
Μπορούμε να αποδώσουμε τα μοτίβα των φυσικών αριθμών μονών ζυγών,πρώτων με την ίδια μέθοδο και το κάθε μοτίβο να μας δίνει τα δικά του χαρακτηριστικά. Ο τρόπος σχηματισμού είναι ο ίδιος.
Στον οριζόντιο άξονα όλοι οι φυσικοί αριθμοί. Με ρόζ χρώμα οι μονοί με μπλε χρώμα οι ζυγοί.
Στον κατακόρυφο άξονα οι φυσικοί αριθμοί . Εδώ αναπτύσσονται τα μεγέθη των αριθμών, με ροζ χρώμα τα μονά πολλαπλάσια (1Χ3 , 3Χ3 ) και μπλε χρώμα τα ζυγά πολλαπλάσια κάθε αριθμού. (2Χ3, ,4Χ3).
Εδώ ένα μικρό τμήμα του μοτίβου των φυσικών αριθμών με το συμμετρικό του στο κάτω μέρος.
Κάτω τα τρία βασικά μοτίβα .1 των φυσικών αριθμών , 2 των μονών φυσικών αριθμών και 3 το μοτίβο των πρώτων αριθμών.
ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Στον οριζόντιο άξονα όλοι οι φυσικοί αριθμοί.
Στον κατακόρυφο άξονα όλοι οι φυσικοί αριθμοί.
ΦΥΣΙΚΟΙ ΜΟΝΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Στον οριζόντιο άξονα όλοι οι φυσικοί αριθμοί.
Στον κατακόρυφο άξονα μόνο οι μονοί φυσικοί αριθμοί.
ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Στον οριζόντιο άξονα όλοι οι φυσικοί αριθμοί.
Στον κατακόρυφο άξονα μόνο οι μονοί πρώτοι αριθμοί.
Το ίδιο μοτίβο με την προσθήκη και του μοτίβου του πρώτου αριθμού 2.
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΩΝ
Μοτίβα πολλαπλασίων: Δίνοντας έμφαση πως κατανέμονται τα πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών.
Σχήμα 1: Αν κατατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς (τα μοτίβα περιέχουν μόνο τους μονούς αριθμούς) π.χ ανά 10 αριθμούς.
- Με πράσινο χρώμα όλοι οι μονοί αριθμοί σύνθετοι και πρώτοι.
- Με κίτρινο χρώμα τα πολλαπλάσια του 3.
- Με μπλε τα πολλαπλάσια του 5.
Με ροζ χρώμα οι σύνθετοι αριθμοί με κοινά πολλαπλάσια τους 3,5 (15,45,75). Με πράσινο χρώμα στο σχήμα 3 οι εν δυνάμει πιθανοί πρώτοι αριθμοί.
Δεν υπάρχει κάποιο εμφανές μοτίβο.
Σχήμα 2: Σε μια διάταξη π.χ 13 αριθμών.
Ισχύουν πάλι τα ίδια χωρίς κάποιο εμφανές μοτίβο.
Σχήμα 3: Σε μια διάταξη 15 αριθμών μονών (3Χ5=15) ή (2Χ3Χ5=30) αριθμών.
Εδώ αλλάζουν τα πράγματα.
- Όλοι οι μονοί φυσικοί αριθμοί
- Τα πολλαπλάσια του 3 (κίτρινο χρώμα) συγκεντρωμένα όλα στις κίτρινες γραμμές.
- Τα πολλαπλάσια του 5 (μπλε χρώμα) συγκεντρωμένα όλα στις μπλε γραμμές. Οι σύνθετοι αριθμοί κοινά πολλαπλάσια των 3,5 (ροζ χρώμα) συγκεντρωμένα όλα στις ροζ γραμμές. Οι εν δυνάμει πρώτοι αριθμοί (πράσινο χρώμα) στις πράσινες γραμμές.
Τα πολλαπλάσια των 3,5 καθώς και οι εν δυνάμει πρώτοι αριθμοί εμφανίζουν «περιοδικότητα και κατοπτρική συμμετρία» ως προς τους κατοπτρικούς μέσους 15,45,κ.λ.π ,που είναι σύνθετοι αριθμοί κοινά πολλαπλάσια των δύο πρώτων αριθμών 3,5.
Αυτό το μοτίβο των 15 μονών αριθμών (περιέχονται σε μέγεθος 30 αριθμών, 1-30, 31-60 κ.ο.κ) που προκύπτει από την παραγοντοποίηση των πρώτων αριθμών που συσχετίζουμε τα πολλαπλάσιά τους ,το ονομάζω μοτίβο 3Β (2Χ3Χ5=30 ή 3Β).
Όλα αυτά το μοτίβα που είναι επανάληψη του αρχικού 1-29,31-69 όπως εμφανίζονται σε όλες τις στήλες έχουν «περιοδικότητα και κατοπτρική συμμετρία των όρων τους» ως προς τον κατοπτρικό τους μέσο που είναι πάντα ένας σύνθετος αριθμός κοινό πολλαπλάσιο των πρώτων αριθμών 3,5 (15,45,75…).
Το ίδιο μοτίβο 3Β με την προσθήκη κόκκινο χρώμα των πολλαπλασίων του πρώτου αριθμού 7. Στο μοτίβο των 3Β (1-29 , 31-59, 61-89…) και σε όλα τα υπόλοιπα , τα πολλαπλάσια του 7 δεν έχουν συμμετρία όπως έχουν των 3,5 πόσο μάλλον κατοπτρική. Αν επεκτείνουμε το μοτίβο 3ΒΧ7 (2Χ3Χ5Χ7=210) 1-209 τότε και αυτό το μοτίβο αποκτά και περιοδικότητα κάθε 210 αριθμούς και κατοπτρική συμμετρία όλων των όρων του μοτίβου (πρώτοι αριθμοί και πολλαπλάσια και των 3,5,7). Η συμμετρία υπάρχει μόνο στον κοινό τους κατοπτρικό μέσο 105 (3Χ5Χ7=105) κοινό πολλαπλάσιο των 3,5,7 ήτοι 105,315 κ.ο.κ. Το δε αρχικό μοτίβο επαναλαμβάνεται αυτούσιο απείρως σε κάθε επόμενο μοτίβο 210 αριθμών ίδιο του αρχικού. Από 1-209 , 211- 419.
Στα δεξιά του πίνακα τα πολλαπλάσια των 3,5,7,συγκεντρωτικά που σε κάθε περιοδικό συμμετρικό μοτίβο 210 (7Χ30) του αρχικού έχει ακριβώς τον ίδιο επαναλαμβανόμενο αριθμό πολλαπλασίων, κατοπτρικά συμμετρικών στον εκάστοτε κατοπτρικό μέσο 105, 315 κ.ο.κ.
Μοτίβο πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών 3,5,7. (2Χ3Χ5Χ7=210).
Τα Μοτίβα όπως θα δούμε και θα αναλύσουμε λεπτομερώς στις αντίστοιχες ενότητες είναι το κυρίαρχο στοιχείο στο θεώρημα των πρώτων αριθμών. Όλες οι υποθέσεις, εικασίες, προβλήματα θεωρίες των πρώτων αριθμών εμφανίζουν τα αντίστοιχα μοτίβα. Πρώτοι αριθμοί ένα άπειρο σύνολο αριθμών γεμάτο περιοδικότητες , μοτίβα και συμμετρίες.
